人教版新课标B必修42.1.1向量的概念复习练习题

这是一份人教版新课标B必修42.1.1向量的概念复习练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( )
A．一条线段 B．一段圆弧
C．两个孤立的点 D．一个圆
[答案] D
[解析] 图形是一个以始点为圆心，以1为半径的圆．
2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( )
A．同一个圆上 B．同一个点上
C．同一条直线上 D．以上都有可能
[答案] B
[解析] 由相等向量的定义知B正确．
3．如图，在菱形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
A．eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→)) B．eq \(DC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))
C．eq \(DC,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→)) D．eq \(DC,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))
[答案] B
[解析] 因为向量只与大小和方向有关，与起点位置无关，从而起点可以在任意位置．该题只需考虑长度相等且方向相同即可，显然只有B符合要求．
4．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
[答案] D
[解析] 由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D．
5．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列各项中错误的是( )
A．CA B．A∩B＝{a}
C．CB D．A∩B{a}
[答案] B
[解析] 由题意可知，CA，CB，{a}A∩B，故选项B是错误的．
6．四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形B．梯形
C．平行四边形或梯形D．不是平行四边形也不是梯形
[答案] C
[解析] 因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))为共线向量，所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，但|eq \(AB,\s\up6(→))|与|eq \(CD,\s\up6(→))|可能相等，也可能不相等．
二、填空题
7．若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量eq \(EF,\s\up6(→))相等的向量为________．
[答案] eq \(BD,\s\up6(→))、eq \(DA,\s\up6(→))
[解析] 三角形的中位线平行且等于底边的一半，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→)).
8．等腰梯形ABCD两腰上的向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的关系是________．
[答案] |eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|
[解析] 由等腰梯形可知，两腰长度相等，故两腰上的向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|.
三、解答题
9．某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方向走了60 m到达C点．已知|eq \(AC,\s\up6(→))|＝120 m，求eq \(AC,\s\up6(→))的方向和A、B的距离．
[解析] 依题意，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(1202－602)＝60eq \r(3)(m)．
所以eq \(AC,\s\up6(→))的方向是A点的东偏北30°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝60eq \r(3).
10．在直角坐标系中画出下列向量．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4eq \r(2)，a的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°.
[解析] (1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)如图所示．
一、选择题
1．若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤eq \f(a,|a|)＝b.
其中正确的是( )
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
[答案] D
[解析] |a|与|b|大小关系不能确定，故①错，a与其单位向量平行②正确．a≠0，∴|a|>0，③正确．|b|＝1，故④错．由定义知⑤正确．
2．如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )
A．|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(EF,\s\up6(→))| B．eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(FH,\s\up6(→))共线
C．eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(EH,\s\up6(→)) D．eq \(DC,\s\up6(→))与eq \(EC,\s\up6(→))共线
[答案] C
[解析] 当ABCD与其他两个菱形不共面时，BD与EH异面，故选C．
3．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|，且eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．等腰梯形
[答案] B
[解析] ∵四边形ABCD中，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，∴AB∥CD，且|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD为菱形．
4．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是( )
A．图中所标出的向量中与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1个(不含eq \(AB,\s\up6(→))本身)
B．图中所标出的向量中与eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有4个(不含eq \(AB,\s\up6(→))本身)
C．eq \(BD,\s\up6(→))的长度恰为eq \(DA,\s\up6(→))长度的eq \r(3)倍
D．eq \(CB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))不共线
[答案] D
[解析] 易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))；
对于B，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|＝|eq \(DA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|；
对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \(DA,\s\up6(→))|；
对于D，eq \(CB,\s\up6(→))∥eq \(DA,\s\up6(→))成立，故D是错误的．
二、填空题
5．如图所示，如果小正方形的边长为1，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝________，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝________，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝________.
[答案] 3eq \r(2) eq \r(26) 2eq \r(2)
[解析] |eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，
|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(52＋12)＝eq \r(26)，
|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).
6．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a＝b，则a∥b；③若a∥b，则a＝b.
其中正确命题的序号是________．
[答案] ②
[解析] 在讨论向量共线的问题时，要考虑方向、长度、位置，尤其不能忘记对零向量的讨论．
对于①，两个向量的模相等，但方向却不一定相同，故①错误．
对于②，a＝b，则a与b同向，∴a∥b，故②正确．
对于③，|a|与|b|不一定相等，a与b的方向也不一定相同，故a＝b不一定成立，故③错误．
三、解答题
7．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))相等的向量；
(2)写出与eq \(AO,\s\up6(→))共线的向量；
(3)写出与eq \(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；
(4)向量eq \(AO,\s\up6(→))与eq \(CO,\s\up6(→))是否相等？
[解析] (1)eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→)).
(2)与eq \(AO,\s\up6(→))共线的向量为：eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→)).
(3)|eq \(AO,\s\up6(→))|＝|eq \(CO,\s\up6(→))|＝|eq \(DO,\s\up6(→))|＝|eq \(BO,\s\up6(→))|＝|eq \(BF,\s\up6(→))|＝|eq \(CF,\s\up6(→))|＝|eq \(AE,\s\up6(→))|＝|eq \(DE,\s\up6(→))|.
(4)不相等．
8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1 m，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1 m，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．
(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
[解析] (1)如图所示，操作6次赛车的位移为零．
(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零；按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有n(180°－α)＝(n－2)·180°，所以n＝eq \f(360°,α)(n为不小于3的整数)，即α应为360°的约数，如α＝30°，则n＝12，即操作12次可回到起点；又α＝15°，则n＝24，即操作24次可回到起点．
9．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))，试推断向量eq \(DE,\s\up6(→))与eq \(AF,\s\up6(→))是否为相等向量，说明你的理由．
[解析] ∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|，从而D是AB的中点．
∵eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))，∴eq \(DF,\s\up6(→))与eq \(BE,\s\up6(→))是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC．∴F是AC的中点．
由三角形中位线定理知，DF＝eq \f(1,2)BC，
又|eq \(DF,\s\up6(→))|＝|eq \(BE,\s\up6(→))|，即DF＝BE，
从而E为BC的中点．
于是DE∥AC，且DE＝eq \f(1,2)AC．
∴DE綊AF，故eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
∵F是AC的中点，∴AF＝eq \f(1,2)AC，