人教版新课标B必修4第一章 基本初等函(Ⅱ)综合与测试课后测评
展开第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,其中有且仅有一个是正确的.)
1.下列各式中,不能化简为eq \(AD,\s\up6(→))的是( )
A.(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)))+eq \(BC,\s\up6(→)) B.(eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→)))+(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CM,\s\up6(→)))
C.eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(BM,\s\up6(→)) D.eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))
[答案] C
[解析] A中,(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→));
B中,(eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→)))+(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CM,\s\up6(→)))=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(BM,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→)).
C中,eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(BM,\s\up6(→))=eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→))=2eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→));
D中,eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→)),故选C.
2.(2015·潮州市高一期末测试)已知角α的终边上有一点P(1,-1),则csα=( )
A.eq \f(\r(3),3) B.1
C.eq \r(3) D.eq \f(\r(2),2)
[答案] D
[解析] 角α的终边上点P到原点的距离r=|OP|=eq \r(12+-12)=eq \r(2),
∴csα=eq \f(x,r)=eq \f(1,\r(2))=eq \f(\r(2),2).
3.设a、b、c是非零向量,下列命题正确的是( )
A.(a·b)·c=a·(b·c)
B.|a-b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2
C.若|a|=|b|=|a+b|,则a与b的夹角为60°
D.若|a|=|b|=|a-b|,则a与b的夹角为60°
[答案] D
[解析] 对于A,数量积的运算不满足结合律,A错;对于B,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=|a|2-2|a||b|·cs+|b|2,B错,对于C、D,由三角形法则知|a|=|b|=|a-b|组成的三角形为正三角形,则=60°,∴D正确.
4.下列说法正确的是( )
A.第三象限的角比第二象限的角大
B.若sinα=eq \f(1,2),则α=eq \f(π,6)
C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D.不论用角度制还是弧度制度量一个角,它们与扇形所对应的半径的大小无关
[答案] D
[解析] -120°是第三象限角,120°是第二象限角,而-120°<120°,排除A;若sinα=eq \f(1,2),则α=eq \f(π,6)+2kπ或α=eq \f(5π,6)+2kπ(k∈Z),排除B;当三角形的内角等于90°时,它既不是第一象限,也不是第二象限,排除C,故选D.
5.已知△ABC中,点D在BC边上,且eq \(CD,\s\up6(→))=2eq \(DB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))=req \(AB,\s\up6(→))+seq \(AC,\s\up6(→)),则r+s的值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3)
C.-3 D.0
[答案] D
[解析] eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)),eq \(DB,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→)),
∴eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(DB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)),
∴eq \f(3,2)eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)),
∴eq \(CD,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)),又eq \(AC,\s\up6(→))=req \(AB,\s\up6(→))+seq \(AC,\s\up6(→)),
∴r=eq \f(2,3),s=-eq \f(2,3),∴r+s=0,故选D.
6.函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x+\f(π,4)))的图象相邻的两个零点之间的距离是( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3)
C.eq \f(4π,3) D.2π
[答案] B
[解析] 函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x+\f(π,4)))的图象相邻的两个零点之间的距离为半个周期,又T=eq \f(2π,\f(3,2))=eq \f(4π,3),∴eq \f(T,2)=eq \f(2π,3).
7.函数y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-3x+\f(π,3)))的一个对称中心为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,18),0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),0))
[答案] C
[解析] y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-3x+\f(π,3)))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x-\f(π,3))),
令3x-eq \f(π,3)=kπ+eq \f(π,2)(k∈Z),
∴x=eq \f(kπ,3)+eq \f(5π,18)(k∈Z).
当k=0时,x=eq \f(5π,18),故选C.
8.已知向量Oeq \(A,\s\up6(→))=(4,6)、Oeq \(B,\s\up6(→))=(3,5),且Oeq \(C,\s\up6(→))⊥Oeq \(A,\s\up6(→)),Aeq \(C,\s\up6(→))∥Oeq \(B,\s\up6(→)),则向量Oeq \(C,\s\up6(→))等于( )
A.(-eq \f(3,7),eq \f(2,7)) B.(-eq \f(2,7),eq \f(4,21))
C.(eq \f(3,7),-eq \f(2,7)) D.(eq \f(2,7),-eq \f(4,21))
[答案] D
[解析] 设Oeq \(C,\s\up6(→))=(x,y),则Aeq \(C,\s\up6(→))=Oeq \(C,\s\up6(→))-Oeq \(A,\s\up6(→))=(x-4,y-6).∵Oeq \(C,\s\up6(→))⊥Oeq \(A,\s\up6(→)),Aeq \(C,\s\up6(→))∥Oeq \(B,\s\up6(→)),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x+6y=0,\f(x-4,3)=\f(y-6,5))),解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(2,7),y=-\f(4,21))).
∴Oeq \(C,\s\up6(→))=(eq \f(2,7),-eq \f(4,21)).
9.(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)下图是函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)一个周期的图象,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)的值等于( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2)
C.2+eq \r(2) D.2eq \r(2)
[答案] A
[解析] 由图象可知,A=2,T=8,∴ω=eq \f(π,4).
∴f(x)=2sineq \f(π,4)x.
∴f(1)=eq \r(2),f(2)=2,f(3)=eq \r(2),f(4)=0,f(5)=-eq \r(2),
f(6)=-2,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=eq \r(2).
10.已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→))=0,则eq \(OC,\s\up6(→))=( )
A.2eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)) B.-eq \(OA,\s\up6(→))+2eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))-eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)) D.-eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))
[答案] A
[解析] ∵2eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→))=0,
∴2(eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→)))+(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OC,\s\up6(→)))=0,
∴eq \(OC,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))-2eq \(OA,\s\up6(→))=0,∴eq \(OC,\s\up6(→))=2eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)).
11.在△ABC中,D、E、F分别是BC、CA、AB的中点,点M是△ABC的重心,则eq \(MA,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→))-eq \(MC,\s\up6(→))等于( )
A.0 B.4eq \(MD,\s\up6(→))
C.4eq \(MF,\s\up6(→)) D.4eq \(ME,\s\up6(→))
[答案] C
[解析] 如图,
由已知得,eq \(MA,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→))=2eq \(MF,\s\up6(→)),又∵M为△ABC的重心,
∴|MC|=2|MF|,
∴-eq \(MC,\s\up6(→))=eq \(CM,\s\up6(→))=2eq \(MF,\s\up6(→)),∴eq \(MA,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→))-eq \(MC,\s\up6(→))=4eq \(MF,\s\up6(→)).
12.如图所示,点P在∠AOB的对角区域MON内,且满足eq \(OP,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+yeq \(OB,\s\up6(→)),则实数对(x,y)可以是( )
A.(eq \f(1,2),-eq \f(1,3)) B.(eq \f(1,4),eq \f(1,2))
C.(-eq \f(2,3),-eq \f(1,3)) D.(-eq \f(3,4),eq \f(2,5))
[答案] C
[解析] 向量eq \(OP,\s\up6(→))用基底eq \(OA,\s\up6(→))、eq \(OB,\s\up6(→))表示具有惟一性,结合图形知x<0,y<0,故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每空4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.已知sinα、csα是方程2x2-x-m=0的两根,则m=________.
[答案] eq \f(3,4)
[解析] 由题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα+csα=\f(1,2),sinαcsα=-\f(m,2))),
解得m=eq \f(3,4),又m=eq \f(3,4)时满足方程2x2-x-m=0有两根.所以m=eq \f(3,4).
14. (2015·潮州市高一期末测试)已知在△ABC中,点D在边BC上,且满足eq \(BD,\s\up6(→))=3eq \(DC,\s\up6(→)),若eq \(AD,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+yeq \(AC,\s\up6(→)),则x+y=________.
[答案] 1
[解析] eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))
=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))=eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→)),
∴x=eq \f(1,4),y=eq \f(3,4),x+y=1.
15.已知函数f(x)=asin2x+cs2x(a∈R)的图象的一条对称轴方程为x=eq \f(π,12),则a的值为________.
[答案] eq \f(\r(3),3)
[解析] 由题意,得f(0)=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))),即asin0+cs0=asineq \f(π,3)+cseq \f(π,3),∴eq \f(\r(3),2)a=eq \f(1,2),∴a=eq \f(\r(3),3).
16.设单位向量m=(x,y)、b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|=________.
[答案] eq \r(5)
[解析] 本题考查了向量垂直,坐标运算、数量积等.由m⊥b知m·b=0,即2x-y=0 ①,又由m为单位向量,所以|m|=1,即x2+y2=1 ②,由①②联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(\r(5),5),y=\f(2\r(5),5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(\r(5),5),y=-\f(2\r(5),5))),所以|x+2y|=eq \r(5).
三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考)
(1)已知A(1,2)、B(3,5)、C(9,14),求证:A、B、C三点共线;
(2)已知|a|=2,|b|=3,(a-2b)·(2a+b)=-1,求a与b的夹角.
[解析] (1)Aeq \(B,\s\up6(→))=(2,3),Aeq \(C,\s\up6(→))=(8,12),
∴Aeq \(C,\s\up6(→))=4Aeq \(B,\s\up6(→)),∴Aeq \(C,\s\up6(→))与Aeq \(B,\s\up6(→))共线.
又∵Aeq \(C,\s\up6(→))与Aeq \(B,\s\up6(→))有公共点A,∴A、B、C三点共线.
(2)设a与b的夹角为θ,
则(a-2b)·(2a+b)=2a2-3a·b-2b2=2×4-3×2×3×csθ-2×9=-10-18csθ=-1,
∴csθ=-eq \f(1,2).∵θ∈[0,π],∴θ=eq \f(2π,3).
18.(本小题满分12分)(2015·广东揭阳市世铿中学高一月考)已知tanθ=-eq \f(3,4),求2+sinθcsθ-cs2θ的值.
[解析] 2+sinθcsθ-cs2θ=2+eq \f(sinθcsθ-cs2θ,sin2θ+cs2θ)
=2+eq \f(tanθ-1,tan2θ+1)=2+eq \f(-\f(3,4)-1,\f(9,16)+1)=eq \f(22,25).
19.(本小题满分12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0)、e2=(0,1),求:
(1)a·b、|a+b|;
(2)a与b的夹角的余弦值.
[解析] (1)因为e1=(1,0)、e2=(0,1)
所以a=3e1-2e2=(3,-2),
b=4e1+e2=(4,1),a·b=10,
a+b=(7,-1),|a+b|=5eq \r(2).
(2)cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(10,\r(13)·\r(17))=eq \f(10\r(221),221).
20.(本小题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx-eq \f(π,6))+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设α∈(0,eq \f(π,2)),f(eq \f(α,2))=2,求α的值.
[解析] (1)∵函数f(x)的最大值为3,
∴A+1=3,即A=2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2),
∴最小正周期T=π,∴ω=2.
故函数f(x)的解析式为y=2sin(2x-eq \f(π,6))+1.
(2)∵f(eq \f(α,2))=2sin(α-eq \f(π,6))+1=2,
即sin(α-eq \f(π,6))=eq \f(1,2),
∵0<α
21.(本小题满分12分)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=eq \f(π,8).
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间.
[解析] (1)x=eq \f(π,8)是函数y=f(x)的图象的对称轴.
∴eq \f(π,4)+φ=kπ+eq \f(π,2),k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=-eq \f(3π,4).
(2)由(1)知φ=-eq \f(3π,4),因此y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(3π,4))).
由题意,得2kπ-eq \f(π,2)≤2x-eq \f(3π,4)≤2kπ+eq \f(π,2),k∈Z,
∴kπ+eq \f(π,8)≤x≤kπ+eq \f(5π,8),k∈Z.
∴函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(3π,4)))的单调增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ+\f(π,8),kπ+\f(5π,8)))(k∈Z).
22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=2eq \r(3)sin(3ωx+eq \f(π,3)),其中ω>0.
(1)若f(x+θ)是周期为2π的偶函数,求ω及θ的值;
(2)若f(x)在(0,eq \f(π,3)]上是增函数,求ω的最大值.
[解析] (1)由函数解析式f(x)=2eq \r(3)sin(3ωx+eq \f(π,3)),ω>0整理可得f(x+θ)=2eq \r(3)sin[3ω(x+θ)+eq \f(π,3)]
=2eq \r(3)sin(3ωx+3ωθ+eq \f(π,3)),由f(x+θ)的周期为2π,根据周期公式2π=eq \f(2π,3ω),且ω>0,得ω=eq \f(1,3),∴f(x+θ)
=2eq \r(3)sin(x+θ+eq \f(π,3)),
∵f(x+θ)为偶函数,定义域x∈R关于原点对称,
令g(x)=f(x+θ)=2eq \r(3)sin(x+θ+eq \f(π,3)),
∴g(-x)=g(x),
2eq \r(3)sin(x+θ+eq \f(π,3))=2eq \r(3)sin(-x+θ+eq \f(π,3)),
∴x+θ+eq \f(π,3)=π-(-x+θ+eq \f(π,3))+2kπ,k∈Z,
∴θ=kπ+eq \f(π,6),k∈Z.∴ω=eq \f(1,3),θ=kπ+eq \f(π,6),k∈Z.
(2)∵ω>0,∴2kπ-eq \f(π,2)≤3ωx+eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)+2kπ,k∈Z,
∴eq \f(2kπ,3ω)-eq \f(15π,18ω)≤x≤eq \f(π,18ω)+eq \f(2kπ,3ω),k∈Z,若f(x)在(0,eq \f(π,3)]上是增函数,∴(0,eq \f(π,3)]为函数f(x)的增区间的子区间,∴eq \f(π,18ω)≥eq \f(π,3),∴ω≤eq \f(1,6),∴ωmax=eq \f(1,6).
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