高中数学第二章 平面向量2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算当堂检测题
展开一、选择题
1.(2014·广东文,3)已知向量a=(1,2)、b=(3,1),则b-a=( )
A.(-2,1) B.(2,-1)
C.(2,0) D.(4,3)
[答案] B
[解析] ∵a=(1,2)、b=(3,1),∴b-a=(3-1,1-2)=(2,-1).
2.若向量a=(x+3,x2-3x-4)与eq \(AB,\s\up6(→))相等,已知A(1,2)、B(3,2),则x的值为( )
A.-1 B.-1或4
C.4 D.1或4
[答案] A
[解析] ∵A(1,2)、B(3,2),
∴eq \(AB,\s\up6(→))=(2,0),又∵eq \(AB,\s\up6(→))=a,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+3=2,x2-3x-4=0)),
∴x=-1.
3.(2014·北京文,3)已知向量a=(2,4)、b=(-1,1),则2a-b=( )
A.(5,7) B.(5,9)
C.(3,7) D.(3,9)
[答案] A
[解析] 2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7)
4.已知eq \(AB,\s\up6(→))=(5,-3)、C(-1,3)、eq \(CD,\s\up6(→))=2eq \(AB,\s\up6(→)),则点D的坐标是( )
A.(11,9) B.(4,0)
C.(9,3) D.(9,-3)
[答案] D
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))=(5,-3),∴eq \(CD,\s\up6(→))=2eq \(AB,\s\up6(→))=(10,-6),
设D(x,y),又C(-1,3),
∴eq \(CD,\s\up6(→))=(x+1,y-3),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+1=10,y-3=-6)),∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=9,y=-3)).
5.已知两点A(4,1)、B(7,-3),则与向量eq \(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是( )
A.eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→)) B.-eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \f(1,25)eq \(AB,\s\up6(→)) D.-eq \f(1,25)eq \(AB,\s\up6(→))
[答案] A
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))=(3,-4),∴|eq \(AB,\s\up6(→))|=eq \r(32+-42)=5,故与向量eq \(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)=eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→)).
6.已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量,O为原点,设eq \(OA,\s\up6(→))=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则点A位于( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] D
[解析] ∵x2+x+1>0,-(x2-x+1)<0,
∴点A位于第四象限.
二、填空题
7.若点O(0,0)、A(1,2)、B(-1,3),且eq \(OA′,\s\up6(→))=2eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(OB′,\s\up6(→))=3eq \(OB,\s\up6(→)),则点A′的坐标为________.点B′的坐标为________,向量eq \(A′B′,\s\up6(→))的坐标为________.
[答案] (2,4) (-3,9) (-5,5)
[解析] ∵O(0,0),A(1,2),B(-1,3),
∴eq \(OA,\s\up6(→))=(1,2),eq \(OB,\s\up6(→))=(-1,3),
eq \(OA′,\s\up6(→))=2×(1,2)=(2,4),eq \(OB′,\s\up6(→))=3×(-1,3)=(-3,9).
∴A′(2,4),B′(-3,9),eq \(A′B′,\s\up6(→))=(-3-2,9-4)=(-5,5).
8.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若eq \(AB,\s\up6(→))=(2,4),eq \(AC,\s\up6(→))=(1,3),则eq \(BD,\s\up6(→))=________.
[答案] (-3,-5)
[解析] eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))=(-1,-1).∴eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))=(-3,-5).
三、解答题
9.(1)设向量a、b的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a+b,a-b,2a+3b的坐标;
(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a-b+c的坐标.
[解析] (1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).
(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)
=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)
=(3+2+0,-9-4+5)
=(5,-8).
10.设已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+teq \(AB,\s\up6(→)).求t为何值时,
(1)P在x轴上?
(2)P在y轴上?
(3)P在第二象限?
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))=(3,3),∴eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+teq \(AB,\s\up6(→))=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).
(1)当点P在x轴上时,2+3t=0,t=-eq \f(2,3).
(2)当点P在y轴上时,1+3t=0,∴t=-eq \f(1,3).
(3)当点P在第二象限时,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1+3t<0,2+3t>0)),
∴-eq \f(2,3)
1.已知a=(5,-2)、b=(-4,-3)、c=(x,y),且2a+b-3c=0,则c等于( )
A.(-2,eq \f(7,3)) B.(2,eq \f(7,3))
C.(2,-eq \f(7,3)) D.(-2,-eq \f(7,3))
[答案] C
[解析] 2a+b-3c=(10,-4)+(-4,-3)-(3x,3y)=(6-3x,-7-3y),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6-3x=0,-7-3y=0)),∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,y=-\f(7,3))).
2.点A(m,n)关于点B(a,b)的对称点坐标为( )
A.(-m,-n) B.(a-m,b-n)
C.(a-2m,b-2n) D.(2a-m,2b-n)
[答案] D
[解析] 设点A(m,n)关于点B(a,b)的对称点为A′(x,y),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=\f(m+x,2),b=\f(n+y,2))),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2a-m,y=2b-n)).
∴A′(2a-m,2b-n).
3.原点O为正六边形ABCDEF的中心,eq \(OA,\s\up6(→))=(-1,-eq \r(3))、eq \(OB,\s\up6(→))=(1,-eq \r(3)),则eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(0,-2eq \r(3)) D.(0,eq \r(3))
[答案] A
[解析] OABC为平行四边形,∴eq \(OC,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=(2,0).
4.已知向量a=(1,2)、b=(2,3)、c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1、λ2的值分别为( )
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
[答案] D
[解析] ∵c=λ1a+λ2b
∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)
=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2)
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3=λ1+2λ2,4=2λ1+3λ2)),∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1=-1,λ2=2)).故选D.
二、填空题
5.设点A(2,0)、B(4,2),点P在直线AB上,且|eq \(AB,\s\up6(→))|=2|eq \(AP,\s\up6(→))|,则点P的坐标为________.
[答案] (3,1)或(1,-1)
[解析] ∵点P在直线AB上,且|eq \(AB,\s\up6(→))|=2|eq \(AP,\s\up6(→))|,
当点P在线段AB上时,P为线段AB的中点,
∴P(eq \f(2+4,2),eq \f(0+2,2)),即P(3,1).
当点P在线段BA的延长线上时,
eq \(AB,\s\up6(→))=-2eq \(AP,\s\up6(→)),设P(x,y),
∴-2eq \(AP,\s\up6(→))=(4-2x,-2y),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2=4-2x,2=-2y)),∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,y=-1)).∴P(1,-1).
6.已知e1、e2是平面内两个不共线向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,则c用a和b表示为________.
[答案] c=a-2b
[解析] 设c=xa+yb.
则c=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.
∵e1、e2不共线,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x-2y=7,-2x+y=-4)),
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,y=-2)),∴c=a-2b.
三、解答题
7.已知△ABC的两个顶点A(3,7)和B(-2,5),求C点坐标,使AC的中点在x轴上,BC的中点在y轴上.
[解析] 设C点坐标为(x,y),根据中点坐标公式,可得AC的中点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3+x,2),\f(y+7,2))).
又∵AC的中点在x轴上,∴eq \f(y+7,2)=0,
∴y=-7,
同理可得BC中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(-2+x,2),\f(5+y,2))).
∵BC的中点在y轴上,
∴eq \f(-2+x,2)=0,∴x=2,∴C(2,-7).
8.若向量|a|=|b|=1,且a+b=(1,0),求向量a、b的坐标.
[解析] 设a=(m,n)、b=(p,q),
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2+n2=1,p2+q2=1,m+p=1,n+q=0)),
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m=p=\f(1,2),q=-\f(\r(3),2),n=\f(\r(3),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m=p=\f(1,2),q=\f(\r(3),2),n=-\f(\r(3),2))).
故a=(eq \f(1,2),eq \f(\r(3),2))、b=(eq \f(1,2),-eq \f(\r(3),2))或a=(eq \f(1,2),-eq \f(\r(3),2))、b=(eq \f(1,2),eq \f(\r(3),2)).
9.已知直线上三点P1、P、P2满足|eq \(P1P,\s\up6(→))|=eq \f(2,3)|eq \(PP2,\s\up6(→))|,且P1(2,-1)、P2(-1,3),求点P的坐标.
[解析] ∵|eq \(P1P,\s\up6(→))|=eq \f(2,3)|eq \(PP2,\s\up6(→))|,
∴eq \(P1P,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(PP2,\s\up6(→))或eq \(P1P,\s\up6(→))=-eq \f(2,3)eq \(PP2,\s\up6(→)),
设P(x,y),则(x-2,y+1)=±eq \f(2,3)(-1-x,3-y),
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-2=\f(2,3)-1-x,y+1=\f(2,3)3-y)),或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-2=-\f(2,3)-1-x,y+1=-\f(2,3)3-y)).
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(4,5),y=\f(3,5))),或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=8,y=-9)).
故点P的坐标为(eq \f(4,5),eq \f(3,5))或(8,-9).
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