2021年最新高考冲刺压轴卷 文数

2021年最新高考冲刺压轴卷

文 科 数 学

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵集合，∴集合，

∴，∴，故选D．

2．复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，所以，

故选B．

3．设，则是的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由可得，

由可得，解得或，

据此可知“”是“”的充分不必要条件，故选A．

4．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，与1构成钝角三角形，即且，

即点落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，

由题意得，120对都小于1的两个正实数与1构成钝角三角形的三边的数对满足：

且的图形的面积为，

所以，

因为，所以，解得，

故选B．

5．将函数（）在上单调递减，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

在上单调递减，依题意有，

∴，，且，∴，

当时满足题意，∴，故选C．

6．，则在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由可得，

，

即，

联立方程，可得，，

且，，

∴在处的切线方程为，

即，故选D．

7．已知数列中，，，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，，

∴，，，，

而，∴数列是以4为周期的周期数列，

∴，故选C．

8．在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（    ）

A．48 B．49 C．50 D．51

【答案】B

【解析】如图，建立平面直角坐标系，

则，，，，

设，，

因为，所以，，．

因为，所以，，

所以．

当且仅当，即，时取等号．

故选B．

9．球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的面对角线，

因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，

又因为正方体的棱长为，所以球的半径，

所以球的表面积为，故选C．

10．已知函数满足：①定义域为；②对任意的，有；③当时，．若函数，则函数在上零点的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在上的零点个数等价于与在上的交点个数；

由，知是周期为的周期函数；

又当时，，

可得与在上的图象如下图所示：

由图象可知：与在上有个不同交点，

即在上零点的个数为个，故选C．

11．在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】设M(x，y)，以MA为直径的圆的圆心为，

又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有，

整理得，

则M的轨迹是抛物线，其焦点为，准线l为，

如图，过M作于D，，

，当且仅当B、M、D三点共线时取“=”，

取得最小值为，故选C．

12．已知函数(是以为底的自然对数，)，若存在实数、()，满足，则的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】根据题意，作出函数的图象如图所示：

∵存在实数、()，满足，，

根据函数图象可得，，

∴，即，∴，

构造函数，，

则，令，解得，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增，

∴当时，取极小值也是最小值，∴，

∵，，，

∴，∴的取值范围为，

故选C．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．如图是一组数据的散点图，经最小二乘估计公式计算，与之间的线性回归方程为，则______．

【答案】1

【解析】因为，，

所以，所以，

故答案为．

14．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框内应填入的条件是_________．

【答案】

【解析】经判断此循环为“直到型”结构，判断框内为跳出循环的语句，

第1次循环：，

第2次循环：，

第3次循环：，

…

发现其中特点为：S的分子与次数一致，i的值比次数大1．

第2009次循环：，，

根据判断框内为跳出循环的语句，∴，

故答案为．

15．已知实数x，y满足，则的最大值为_________．

【答案】3

【解析】不等式组所表示区域为图中阴影区域，

由已知条件计算可得，，，

则，即，

结合图形可知当经过点时，取得最大值，计算得，

故答案为3．

16．“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数经过6次运算后得到1，则的值为_________．

【答案】10或64

【解析】如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，

则经过5次运算后得到的一定是2；

经过4次运算后得到的一定是4；

经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；

经过2次运算后得到的是16；

经过1次运算后得到的是5或32；

所以开始时的数为10或64，所以正整数的值为10或64．

故答案为10或64．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）的内角、、的对边分别是、、，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，为边上一点，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

由正弦定理可得，

所以，

即得，

可得，

因为，则，则有，

又因为，所以．

（2）因为，由，可得，

在中，，所以，

在中，由正弦定理得，即，

所以．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点．

（1）求证：平面平面；

（2）若点到平面的距离为，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：在中，因为，，，

所以，

因为点是的中点，所以，

在中，，得，

所以，所以，

在中，，，，

满足，所以，

而，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）

过点作，垂足为，

由（1）可知平面，

因为平面，所以平面平面，平面平面=，

所以平面．

由，，

因为，解得，所以．

19．（12分）春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物，采取推广使用“某某到家”线上购物APP，再由物流人员送货到家，下左图为从某区随机抽取100位年龄在的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了“某某到家”线上购物APP人数占抽取总人数比的频率柱状图．

（1）从年龄段在的样本中，随机抽取两人，估计都不使用“某某到家”线上购物APP的概率；

（2）若把年龄低于40岁（不含）的人称为“青年人”，为确定是否有的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP，填写下列联表，并作出判断．

参考数据：

，其中．

【答案】（1）；（2）列联表见解析，有的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP．

【解析】（1）年龄段在样本中共有6人，其中1人会使用“某某到家”线上购物APP，

记为，，，，，（其中表示使用了APP），

从中抽取两人，共有，，，，，，，，，，，，，，，共有15种不同情况，

都不使用APP的情况有10种，

故随机抽取两人，求都不使用“某某到家”线上购物APP的概率为．

（2）根据统计图表知：

根据公式计算，

故有的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP．

20．（12分）已知函数．

（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由，得．

函数在定义域内为增函数，

在恒成立．

当时，，满足题意；

当时，设，易得，

函数在上为增函数，

，即与矛盾，

综上，实数的取值范围为．

（2）易知在上单调递增，

又，，

存在，使得，

即，．

当时，；当时，，

函数在单调递减，在单调递增．

，

．

21．（12分）已知椭圆的焦距为，且点在上．

（1）求的方程；

（2）若直线与相交于，两点，且线段被直线平分，求(为坐标原点)面积的最大值．

【答案】（1）；（2）最大值为．

【解析】（1）依题意可知，解得，

故的方程为．

（2）易得直线的方程为，

设，，为的中点，其中，

因为，在椭圆上，所以，

两式相减可得．

可设直线的方程为，

联立，整理得，

则，解得，

则，，

则，

原点到直线的距离，

则的面积，

当且仅当，即时，的面积有最大值，且最大值为．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的方程为(，为参数)．

（1）求曲线的普通方程并说明曲线的形状；

（2）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求曲线的对称中心到曲线的距离的最大值．

【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线是以为圆心，1为半径的圆；（2）．

【解析】（1）曲线的方程为(，为参数)，

可知(，为参数)，

消去参数得曲线的普通方程为，

∴曲线是以为圆心，1为半径的圆．

（2）将曲线的极坐标方程为，即，

化为直角坐标方程为，

曲线的对称中心即为圆心，

∴曲线的对称中心到曲线的距离，

∵，

∴曲线的对称中心到曲线的距离的最大值为．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

（1）求的解集；

（2）在（1）的条件下，设，，，证明：，，不能都大于1．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题设，

∴当时，，得；

当时，恒成立；

当时，，得，

∴综上，得．

（2）由（1）知：，，，

∴，，，其中等号成立的条件为．

∴，

假设，，都大于1，即显然与结论矛盾．

∴，，不能都大于1，得证．