高考数学二轮复习专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值（原卷版）

第十三讲  利用导数求函数的单调性、极值 、最值

【套路秘籍】

一．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

二．函数的极值

(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

三．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

【套路修炼】

考向一 单调区间

【例1】求下列函数的单调区间：

（1）；       

（2）.  

（3）)f(x)＝.

【举一反三】

1．函数y＝4x2＋的单调增区间为________．

2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调增区间是________．

3．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)的单调减区间是________．

4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调增区间是_______．

考向二 极值

【例2】求函数f(x)＝－2的极值．

【举一反三】

1．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．

考向三 最值

【例3】求下列各函数的最值：

(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]．(2)f(x)＝sin 2x－x(x∈[－，])．

【举一反三】

1．求下列函数的最值：

(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]；

(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．

考向四 利用导数判断图像

【例4】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

【举一反三】

3.已知f(x)=x2+sin,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图象是(　　)

【套路运用】

1．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为________．

2.函数y＝xex的最小值是________．

3．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．

4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)

①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；

②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；

③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；

④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．

5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是          。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

6.若x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,则         。

A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有极小值-1  C.f(x)有极大值0 D.f(x)有极小值0

7.已知a为函数的极小值点，则a=    。

8．已知函数，求函数在上的最大值和最小值.

9．已知函数在处取得极值.

（1）求a、b的值；

（2）若有极大值28，求在上的最大值.

10.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值．

11设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．