高考数学二轮复习专题2.12 导数的切线方程（解析版）

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第十二讲  导数的切线方程【套路秘籍】  导数的几何意义：切线的斜率  求斜率的方法 （1）公式：（2）当直线l1、l2的斜率都存在时：，      切线方程的求法（1）求出直线的斜率（2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式写出直线方程。【套路修炼】考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为        。（2）设函数，若，则______________．【答案】（1）.（2）e【解析】（1）∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.（3）由题意得，又，解得．【举一反三】1.已知在曲线上过点的切线为．（1）若切线平行于直线，求点的坐标；（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x0=4,x0=2,代入曲线y0=4,切点P（2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于-1.（3）因为切线的倾斜角为，所以其斜率为．即，得，，故． 考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f(x)＝xln x，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝0【举一反三】1.函数f(x)＝excos  x在点(0，f(0))处的切线方程为                         。【答案】x－y＋1＝0【解析】∵f′(x)＝excos  x＋ex(－sin  x)＝ex(cos  x－sin  x)，∴f′(0)＝e0(cos  0－sin  0)＝1．又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．2.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为_      __.【答案】5x＋y＋2＝0【解析】由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 考向三 过某点处求切线方程【例3】已知函数，则过（1,1）的切线方程为__________．【答案】【解析】 由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为，即， 当点不是切点时，设切点，则，即， 解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即.【举一反三】1．已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程为       。【答案】或【解析】设切点为,切线斜率 ，则切线方程是，又过点，所以， ①又，②由①②解得， 或 ，代入切线方程化简可得：切线方程为 或.2．过点作曲线的切线，则切线方程为_______________________.【答案】【解析】点不为切点，可设出切点，则，①又，则切线斜率为=，②由①②得，，故切线方程为，即，故答案为.3．过坐标原点作曲线的切线,则切线方程为________.【答案】【解析】因为， 所以,设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，把原点坐标代入切线方程可得，所以过坐标原点作曲线的切线,则切线方程为,故答案为.考向四 求参数【例4】已知函数f(x)＝bx＋ln x，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为        ．【答案】　【解析】　设切点坐标为(x0，bx0＋ln x0)，因为f′(x)＝b＋，所以k＝b＋，则切线方程为y－(bx0＋ln x0)＝(x－x0)．因为切线过坐标原点，所以－(bx0＋ln x0)＝(0－x0)，即ln x0＝1，所以x0＝e，所以k－b＝＝.【举一反三】1.已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝        .【答案】－2【解析】∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，∴m＝－2.2.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为      。【答案】2【解析】设切点为(x0，y0)，y′＝，所以有解得3.设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____________.【答案】1【解析】y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线的斜率为k1＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.4，已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是        ．【答案】x－y－2＝0【解析】由题图可知，f′(2)＝1，过P(2,0)，∴切线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.【套路运用】1.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝_______.【答案】【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1．又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是                      ．【答案】　y＝0或4x＋y＋4＝0【解析】设切点坐标为(x0，x)，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴x＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__      【答案】y＝－2x－1【解析】令x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ln x－3x(x>0)，则f′(x)＝－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1．4.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝____.【答案】1－ln2【解析】直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln (x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝ln x＋2得y′＝，由y＝ln (x＋1)得y′＝，∴k＝＝，∴x1＝，x2＝－1，∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k，即A，B，∵A，B在直线y＝kx＋b上，∴⇒5．已知函数，则在x=1处的切线方程为_________【答案】.【解析】 ，,而,所以切线方程为.6．已知某曲线的方程为，则过点且与该曲线相切的直线方程为______．【答案】或【解析】设直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠2），则k=，∵y0=x02+2，且∵k=y′=2x0，∴=2x0，∴x02﹣4x0﹣5=0，∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或，故直线l的方程或.故答案为：或．7．已知，函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为______.【答案】1【解析】因为函数，所以 ，则切线的斜率为，因为切点坐标，所以切线方程为，令，可得在轴上的截距为，故答案为1.8．已知恰有两条不同的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】设曲线的切点为（），的切点坐标为（）， , ∴①切线方程为y-且过点（），故-②由①②得,故有两解，由①知，若不合题意；所以必有,即在有两解，令f(x)=,在（）单减，在（2，+）单增，的最小值为，又故,解0<p<2故答案为9．已知函数在点处的切线方程为，则__________．【答案】3【解析】函数f（x）＝x2+alnx+b，所以f′（x）＝2x（x＞0），又f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣2，所以2+a＝4解得：a＝2，f（1）＝4﹣2＝2，可得2＝1+2ln1+bb＝1，所以a+b＝3．故答案为：3．10．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为__________．【答案】.【解析】因为，点坐标为可知点在曲线上则则即切线的斜率为0又因为过点所以切线方程为11．已知曲线.(Ⅰ) 求曲线在处的切线方程；(Ⅱ) 求曲线过原点的切线方程.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)由题意得，所以， ，可得切线方程为，整理得。(Ⅱ)令切点为，因为切点在函数图像上，所以，，所以在该点的切线为  因为切线过原点，所以，解得，可得切点为， ，，所以切线方程为或。12．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.【答案】(1) (2) 切线方程为,切点为【解析】（Ⅰ），所以 ，即（Ⅱ）设切点为，则 所以切线方程为 因为切线过原点，所以 ，所以，解得， 所以，故所求切线方程为，又因为，切点为13．已知曲线C：y＝x3－6x2－x＋6.(1)求C上斜率最小的切线方程；(2)证明：C关于斜率最小时切线的切点对称．【答案】见解析【解析】　(1)y′＝3x2－12x－1＝3(x－2)2－13.当x＝2时，y′最小，即切线斜率的最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y＋12＝－13(x－2)，即13x＋y－14＝0.(2)证明：设点(x0，y0)∈C，点(x，y)是点(x0，y0)关于切点(2，－12)对称的点，则∵点(x0，y0)∈C，∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，整理得y＝x3－6x2－x＋6.∴点(x，y)∈C，于是曲线C关于切点(2，－12)对称．14．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．【答案】见解析【解析】　(1)f′(x)＝a－，依题意，f′(2)＝0，f(2)＝3，即解得或因为a，b∈Z，所以a＝1，b＝－1，故f(x)＝x＋.(2)证明：在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为y－＝(x－x0)．令x＝1得y＝，切线与直线x＝1的交点为.令y＝x得x＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)．直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为·|2x0－1－1|＝·|2x0－2|＝2.所以所围三角形的面积为定值2.