2021超级全能生高三5月联考丙卷：数学（文）+答案

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“超级全能生”2021高考全国卷地区5月联考丙卷数学文科答案及评分标准 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。ABDBCBDCDBBA 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。4　14．120　15. －　16．(－∞，－3]∪ 三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。解答题评分标准（1）导函数：求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。取值写成区间或者集合的形式，未写扣1分。（2）选做题：[坐标系与参数方程]极坐标方程转化为参数方程时需要过程，没有过程不得分。[解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣1分。（3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。（4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。17．解：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q.∵a2，a5是一元二次方程x2－9x＋8＝0的两个根且数列{an}是递增数列，∴a2＝1，a5＝8.(2分)由得(4分)∴an＝·2n－1＝2n－2(n∈N)．(6分)(Ⅱ)设bn＝log2an，由(Ⅰ)知bn＝log2an＝log22n－2＝n－2，(7分)∴bn＋1－bn＝(n－1)－(n－2)＝1.又b1＝－1，(8分)∴数列{bn}是以－1为首项，1为公差的等差数列，(10分)∴Tn＝nb1＋d(11分)＝－1·n＋×1＝.(12分) 18．解：(Ⅰ)由题中数据得＝＝×55＝5.5，＝＝×150＝15，(1分)10＝10×5.5×15＝825，∴－10＝890－825＝65.(2分)又≈75.99，∴≈≈0.86，(4分)∴0.75≤|r|≤1，(5分)∴y与x有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合．(6分)(Ⅱ)∵＝385，10＝10×5.52＝302.5，∴＝＝＝＝≈0.8，(8分)＝－＝15－×5.5≈10.7，(9分)(当＝0.8得＝－＝15－0.8×5.5＝10.6同样给分)∴y关于x的线性回归方程为＝0.8x＋10.7.(10分)当x＝12时，＝0.8×12＋10.7≈20，(11分)∴预测该商场12月份的收入为20万元．(12分) 19．解：(Ⅰ)证明：连接CM，BD.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝AD＝BD.(1分)又M是AB的中点，∴DM⊥AB.又AB∥CD，∴DM⊥CD.(2分)∵ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，∴DD1⊥平面ABCD.(3分)又DM平面ABCD，∴DM⊥DD1.(4分)又DD1∩CD＝D，∴DM⊥平面CDD1C1.(5分)又DE平面CDD1C1，∴DM⊥DE.(6分) (Ⅱ)∵∠ABC＝120°，菱形ABCD的边长为2，M是AB的中点，∴DM⊥AB，(7分)∴DM＝＝.(8分)又ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，侧棱长为4，E为CC1的中点，∴DE＝＝2.(9分)由(Ⅰ)知DM⊥DE，∴＝DD1·CD＝×4×2＝4，S△DEM＝DM·DE＝××2＝.(10分)设D1到平面DME的距离为d.∵DM⊥平面CDD1C1，∴，即S△DEM·d＝·DM，(11分)解得d＝＝2，即D1到平面DME的距离为2.(12分) 20．证明：(Ⅰ)当a＝e时，f(x)＝x－lnx，x>0，则f′(x)＝1－＝.(1分)由f′(x)＝0得x＝1，(2分)由f′(x)>0得x>1，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增；(3分)由f′(x)<0得0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，(4分)所以f(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值f(1)＝1，(5分)所以当a＝e时，f(x)≥1恒成立．(6分)(Ⅱ)当a＝4时，g(x)＝x－log4x－1(x>0)，则g′(x)＝1－＝，x>0.(7分)当x∈时，g′(x)<0，g(x)在上单调递减；(8分)当x∈时，g′(x)>0，g(x)在上单调递增．(9分)因为g(1)＝0，g＝>0，g<g(1)＝0，(10分)所以存在x0∈，使得g(x0)＝0，(11分)即g(x)存在两个零点x0，1，即函数g(x)＝f(x)－1有两个零点．(12分) 21．解：(Ⅰ)由题设知，双曲线C2：－＝1的右顶点为(2，0)，(1分)∴＝2，(2分)解得p＝4，(3分)∴抛物线C1的标准方程为y2＝8x.(4分)(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋1，(5分)联立消去y得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，(6分)由Δ>0得(2k－8)2－4k2>0，即k<2，(7分)∴x1＋x2＝－，x1x2＝.(8分)又∵·＝1，F(2，0)，∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝1，(9分)∴x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5＝1，即k2＋4k－5＝0，(10分)解得k＝1或k＝－5，(11分)∴直线l的方程为y＝x＋1或y＝－5x＋1.(12分) 22．解：(Ⅰ)将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入ρ2－2aρsinθ＋a2－3＝0，得曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－a)2＝3，(2分)∴曲线C的参数方程为(α为参数)．(4分)∵曲线C过坐标原点O，∴a2＝3，解得a＝±.(5分)(Ⅱ)解法一：当a＝1时，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0，(6分)将θ＝代入ρ2－2ρsinθ－2＝0得ρ2－ρ－2＝0.(7分)设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，∴ρ1＋ρ2＝1，ρ1ρ2＝－2，(8分)∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝＝3.(10分) 解法二：当a＝1时，曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3，直线l的极坐标方程θ＝化为直角坐标方程为y＝x.(6分)联立消去y得2x2－x－3＝0.(7分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，(8分)∴|AB|＝|x1－x2|＝＝3.(10分) 23．解：(Ⅰ)当a＝3时，f(x)>3x＋1，即＋>3x＋1等价于或或(3分)解得x≤－1或－1<x<1或x∈∅，(4分)所以原不等式的解集为(－∞，1)．(5分)  (Ⅱ)f(x)≥2a－3对任意x∈R恒成立，等价于f(x)min≥2a－3.(6分)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－a|≥，当且仅当(x＋1)(x－a)≤0时，等号成立，所以只需≥2a－3，(7分)即或(8分)解得－1≤a≤4或a<－1，(9分)所以实数a的取值范围是(－∞，4]．(10分)