2021年备战中考数学解答题·题型组合提分专项训练

这是一份2021年备战中考数学解答题·题型组合提分专项训练，共32页。试卷主要包含了．请根据图中信息解答下列问题等内容，欢迎下载使用。
1.（8分）先化简：（x+2+）÷，然后判断，当x＝2sin60°﹣3时，原式取值的正负情况．
2.（8分）为了解某校九年级学生今年中考立定跳远成绩，随机抽取该年级50名男学生的得分，并把成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ，样本成绩的中位数落在 范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级共有400名男生，立定跳远成绩不低于2.25米为优秀，估计该校男学生中考立定跳远成绩优秀以上的学生有多少人？
3.（9分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，≈1.4）
4.（9分）如图，在平面直角坐标系内，直线y1＝kx+b（k≠0）与双曲线y2＝（a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y1沿x轴向负方向平移1个单位，得到直线y3，直接写出y3解析式及当y3＞y2时，自变量x的取值范围．
5.（9分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，过A作AE∥BC交CD延长线于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）若BD经过圆心O，其它条件不变，AE＝，则△ADE与圆重合部分的面积为_________________．（在备用图中画图后，用阴影标出所求面积）
6.（10分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A、B城往C、D两乡运肥料的平均费用如下表．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各多少吨肥料？
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（3）由于更换车型，使B城运往D乡的运费每吨减少a元（a＞0），其余路线运费不变，若C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，求a的最大整数值．
7.（10分）折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸．
实践操作
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B'落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B'D．
解决问题
（1）在图1中，①B'D和AC的位置关系是 ；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是 ；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）在图2中，若∠B＝30，AB＝，当AB'⊥AD时，BC的长度为 ．
8.（12分）如图所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，M是线段OA上的一个动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以C、P、N为顶点的三角形为直角三角形时，S△CPN＝ ；
（3）过点N作NH⊥AC于H，求S△HPN的最大值．
9.（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中x满足x2+4x+3＝0．
10.（8分）随着互联网经济的发展，“共享单车“越来越走近老百姓的生活．赵刚同学对某站点”共享单车”的租用情况进行了调查，将该站点一天中市民每次租用“其享单车“的时间t（单位：分）（t≤120）分成A，B，C，D四个组，进行各组人次统计，并绘制了如下的统计图（不完整）．请根据图中信息解答下列问题：
（1）该站点一天中租用”共享单车“的总人次为 ，表示A的扇形圆心角的度数是 ．
（2）补全条形统计图．
（3）“共享单车”服务公司规定：市民每次使用共享单车时间不超过30分钟收费1元，超过30分钟收费2元，已知该市每天租用共享单车（时间在2小时以内）的市民平均约有5000人次，根据以上数据估计共享单车服务公司每天大约收入多少元？
11.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE＝EC
（2）填空：①若∠B＝30°，AC＝2，则DB＝ ；
②当∠B＝ 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
12.（9分）如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑坐落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物的横断面（瓷碗横断面ABCD为等腰梯形）的高度如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44的小坡PQ步行到点Q（此过程中AD、AP、PQ始终处于同一平面）后测得点D的仰角减少了5°．已知坡PQ的水平距离为20米，小敏身高忽略不计．
（1）试计算该瓷碗建筑物的高度？
（2）小敏测得AD与水平面夹角约为58°，底座直径AB约为20米，试计算碗口CD的直径为多少米？
坡度：坡与水平线夹角的正切值．参考数据：sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60．
13.（9分）在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以3：1的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
14.（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积为．
15.（10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．
16.（12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
中考解答题·题型组合提分卷
参考答案
1.（8分）先化简：（x+2+）÷，然后判断，当x＝2sin60°﹣3时，原式取值的正负情况．
【解答】解：原式＝•＝，
当x＝2×﹣3＝﹣3时，原式＝＝1﹣＜0．
2.（8分）为了解某校九年级学生今年中考立定跳远成绩，随机抽取该年级50名男学生的得分，并把成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ 1 ，b＝ 25 ，样本成绩的中位数落在 2.25≤x＜2.5 范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级共有400名男生，立定跳远成绩不低于2.25米为优秀，估计该校男学生中考立定跳远成绩优秀以上的学生有多少人？
【解答】解：（1）有聘书分布直方图可知，a＝1，
b＝50﹣1﹣9﹣15＝25，
样本成绩的中位数落在2.25≤x＜2.5范围内，
故答案为：1，25，2.25≤x＜2.5；
（2）补充完整的频数分布直方图如右图所示；
（3）400×＝320（人），
答：该校男学生中考立定跳远成绩优秀以上的学生有320人．
3.（9分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，≈1.4）
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，如图所示．
∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，
∴AB＝CD＝1．
在Rt△ABE中，AB＝1，∠A＝37°，
∴BE＝AB•sin∠A≈0.6，AE＝AB•cs∠A≈0.8．
在Rt△CDF中，CD＝1，∠D＝45°，
∴CF＝CD•sin∠D≈0.7，DF＝CD•cs∠D≈0.7．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE＝CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC＝EM，CM＝BE．
在Rt△MEF中，EF＝AD﹣AE﹣DF＝0.5，FM＝CF+CM＝1.3，
∴EM＝≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．
4.（9分）如图，在平面直角坐标系内，直线y1＝kx+b（k≠0）与双曲线y2＝（a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y1沿x轴向负方向平移1个单位，得到直线y3，直接写出y3解析式及当y3＞y2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点B（﹣1，﹣4）在双曲线y2＝（a≠0）上，
∴a＝﹣1×（﹣4）＝4．
∴双曲线的解析式为y2＝，
∵点A（m，2）在反比例函数y2＝的图象上，
∴2＝，
∴m＝2．
∵点A（2，2）和点B（﹣1，﹣4）在直线y1＝kx+b（k≠0）上，
∴解得
∴直线的解析式为y＝2x﹣2．
（2）直线y1沿x轴向负方向平移1个单位，得到直线y3＝2（x+1）﹣2＝2x，
解得或，
∴直线y3和双曲线的交点为（，2）和（﹣，﹣2），
∴当y3＞y2时，自变量x的取值范围是：﹣＜x＜0或x＞．
5.（9分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，过A作AE∥BC交CD延长线于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）若BD经过圆心O，其它条件不变，AE＝，则△ADE与圆重合部分的面积为 π﹣ ．（在备用图中画图后，用阴影标出所求面积）
【解答】（1）证明：如图1，连接OA，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠BCA＝60°，
∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）如备用图，∵△ABC是等边三角形，BD经过圆心O，
∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵EA是⊙O的切线，
∴∠EAD＝30°，
∵AE∥BC，
∴∠AED＝∠BCD＝90°，
∵AE＝，
∴AD＝2，
连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝OBA＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴△ADE与圆重合部分的面积＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×2×＝π﹣．
故答案为：π﹣．
6.（10分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A、B城往C、D两乡运肥料的平均费用如下表．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各多少吨肥料？
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（3）由于更换车型，使B城运往D乡的运费每吨减少a元（a＞0），其余路线运费不变，若C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，求a的最大整数值．
【解答】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨
根据题意，得，
解得 ．
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，则运往B城运往C乡（300﹣x）吨
从A城运往D乡肥料（260﹣x）吨，则运往C乡（x﹣60）吨
如总运费为y元，根据题意，
则：y＝20（x﹣60）+25（260﹣x）+15（300﹣x）+30x＝10x+9800，
由于函数是一次函数，k＝10＞0，
∵，
∴60≤x≤260
所以当x＝60时，运费最少，最少运费是10400元．
（3）从B城运往D乡肥料x吨，由于B城运往D乡的运费每吨减少a（a＞0）元，
所以y＝20（x﹣60）+25（260﹣x）+15（300﹣x）+（30﹣a）x＝（10﹣a）x+9800，
若C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，则10﹣a＞0，而且x＝60时，y≥10040，
∴（10﹣a）×60+9800≥10040
解得：a≤6，
若C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，a的最大整数值为6．
7.（10分）折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸．
实践操作
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B'落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B'D．
解决问题
（1）在图1中，①B'D和AC的位置关系是 BD′∥AC， ；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是 菱形 ；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）在图2中，若∠B＝30，AB＝，当AB'⊥AD时，BC的长度为 4或12 ．
【解答】解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；
故答案为BD′∥AC，菱形；
（2）①选择②证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACB′，
∴AE＝CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
②选择①证明如下，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C＝BC，
∴B′C＝AD，
∴B′E＝DE，
∴∠CB′D＝∠ADB′，
∵∠AEC＝∠B′ED，∠ACB′＝∠CAD
∴∠ADB′＝∠DAC，
∴B′D∥AC．
（3）∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B＝30°，∴∠AB′C＝∠CDA＝30°，
∵AB'⊥AD，
∴∠B′AD＝90°，AB＞BC时，如图3中，
设∠ADB′＝∠CB′D＝y，
∴∠AB′D＝y﹣30°，
解得y＝60°，
∴∠AB′D＝y﹣30°＝30°，
∵AB′＝AB＝4，
∴AD＝×4＝4，
∴BC＝4，
当∠B′AD＝90°，AB＜BC时，如图5，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD＝90°，
∵∠B＝30°，AB′＝4，
∴∠AB′C＝30°，
∴AE＝4，BE′＝2AE＝8，
∴AE＝EC＝4，
∴CB′＝12，
故答案为：4或12；
8.（12分）如图所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，M是线段OA上的一个动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以C、P、N为顶点的三角形为直角三角形时，S△CPN＝ 4或 ；
（3）过点N作NH⊥AC于H，求S△HPN的最大值．
【解答】解：（1）将点A坐标代入y＝x+c得：c＝4，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A坐标代入y＝﹣x2+bx+4并解得：b＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）①当∠CNP＝90°时，
点N（﹣3，4），点P（﹣3，1），
S△CPN＝×CN×PN＝×3×3＝；
②当∠NCP＝90°时，
同理可得：S＝4；
而∠NPC≠90°；
故答案为：4或；
（3）设点N（x，﹣x2﹣3x+4），则点P（x，x+4），
∵OA＝OC，∴∠HPN＝45°＝∠HPH，
S△HPN＝×NH×PH＝（NP）2，
NP＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x，
当x＝﹣2时，NP的最大值为：4，
故S△HPN＝×NH×PH＝（NP）2的最大值为×42＝4，
即S△HPN的最大值为4．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不9.（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中x满足x2+4x+3＝0．
【解答】解：原式＝[﹣]×
＝×
＝，
∵x满足x2+4x+3＝0，
∴x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝﹣3，
当x＝﹣3时，原式＝＝1.5．
10.（8分）随着互联网经济的发展，“共享单车“越来越走近老百姓的生活．赵刚同学对某站点”共享单车”的租用情况进行了调查，将该站点一天中市民每次租用“其享单车“的时间t（单位：分）（t≤120）分成A，B，C，D四个组，进行各组人次统计，并绘制了如下的统计图（不完整）．请根据图中信息解答下列问题：
（1）该站点一天中租用”共享单车“的总人次为 50 ，表示A的扇形圆心角的度数是 108° ．
（2）补全条形统计图．
（3）“共享单车”服务公司规定：市民每次使用共享单车时间不超过30分钟收费1元，超过30分钟收费2元，已知该市每天租用共享单车（时间在2小时以内）的市民平均约有5000人次，根据以上数据估计共享单车服务公司每天大约收入多少元？
【解答】解：（1）一天中租用公共自行车的总人次是19÷38%＝50（人），
A表示的圆心角的度数是360°×＝108°．
故答案是：50，108°；
（2）C组的人数是50﹣15﹣19﹣4＝12（人）.
（3）估计公共自行车服务公司每天可收入2×5000×+1×5000×＝5400（元）．
11.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE＝EC
（2）填空：①若∠B＝30°，AC＝2，则DB＝ 3 ；
②当∠B＝ 45 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
【解答】（1）证明：连接DO．
∵∠ACB＝90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC＝ED，
又∵∠EDO＝90°，
∴∠BDE+∠ADO＝90°，
∴∠BDE+∠A＝90°
又∵∠B+∠A＝90°，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝ED，
∴BE＝EC；
（2）解：①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝6，
∵AC为直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴BD＝BC•cs30°＝3
故答案为：3；
②当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∵∠ODE＝90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD＝OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：45．
12.（9分）如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑坐落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物的横断面（瓷碗横断面ABCD为等腰梯形）的高度如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44的小坡PQ步行到点Q（此过程中AD、AP、PQ始终处于同一平面）后测得点D的仰角减少了5°．已知坡PQ的水平距离为20米，小敏身高忽略不计．
（1）试计算该瓷碗建筑物的高度？
（2）小敏测得AD与水平面夹角约为58°，底座直径AB约为20米，试计算碗口CD的直径为多少米？
坡度：坡与水平线夹角的正切值．参考数据：sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60．
【解答】解：（1）分别过点D与点P向水平线引垂线与过点Q的水平线交于点N与点M，与PA交于点H，
∵∠DPA＝45°，
∴DH＝PH，
设为a，
∵tan∠PQM＝＝0.44，QM＝20，
∴PM＝0.44×QM＝8.8．
tan∠DQN＝＝0.84，即，
解得：a＝50．
答：该瓷碗建筑物的高度为50米．
（2）∵DH＝50，且，
∴AH＝31.25．
∴CD＝AB+2AH＝82.5．
答：该瓷碗建筑物碗口CD的直径为82.5米．
13.（9分）在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以3：1的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【解答】解（1）设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：+10＝，
解得x＝100．
经检验x＝100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：（100+200）a﹣11000﹣24000≥（11000+24000）×20%，
解得a≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元．
14.（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积为．
【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝3，
∴该函数的解析式为y＝；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），
∴S△EFA＝AF•BE＝×k（3﹣k），
＝k﹣k2
∵△EFA的面积为．
∴k﹣k2＝．
整理，得
k2﹣6k+8＝0，
解得k1＝2，k2＝4，
∴当k的值为2或4时，△EFA的面积为．
15.（10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．
【解答】解：（1）AE＝DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADP+∠CDF＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥DF；
（2）
（1）中的结论还成立，CE：CD＝或2，
理由是：有两种情况：
①如图1，当AC＝CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝＝a，
则CE：CD＝a：a＝；
②如图2，当AE＝AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝＝a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，
∴DE＝CD＝a，
∴CE：CD＝2a：a＝2；
即CE：CD＝或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，
∵在Rt△QDC中，QC＝＝＝，
∴CP＝QC+QP＝+1，
即线段CP的最大值是+1．
16.（12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 y＝﹣x+ ，点A的坐标为 （﹣2，2） ，点B的坐标为 （1，0） ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2，
∴其梦想直线的解析式为y＝﹣x+，
联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，
∴A（﹣2，2），B（1，0），
故答案为：y＝﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；
（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD＝2，
在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝0可求得x＝﹣3或x＝1，
∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），
∴AC＝＝，
由翻折的性质可知AN＝AC＝，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3，
∵OD＝2，
∴ON＝2﹣3或ON＝2+3，
当ON＝2+3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，2﹣3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，
在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2，
∴tan∠DAM＝＝，
∴∠DAM＝60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC＝∠DAO＝60°，
又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°，
∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3，
∴MP＝MN＝，NP＝MN＝，
∴此时N点坐标为（，）；
综上可知N点坐标为（0，2﹣3）或（，）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，
则有AC∥EF且AC＝EF，
∴∠ACK＝∠EFH，
在△ACK和△EFH中
∴△ACK≌△EFH（AAS），
∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2，
∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴F点的横坐标为0或﹣2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，
∴E到x轴的距离为EH﹣OF＝2﹣＝，即E点纵坐标为﹣，
∴E（﹣1，﹣）；
当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），
∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），
设E（﹣1，t），F（x，y），
则x﹣1＝2×（﹣2.5），y+t＝2，
∴x＝﹣4，y＝2﹣t，
代入直线AB解析式可得2﹣t＝﹣×（﹣4）+，解得t＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．
得复制发布
分组
频数
0≤x＜1.85
a
1.85≤x＜2.25
9
2.25≤x＜2.5
b
x≥2.50
15
A城（出）
B城（出）
C乡（人）
20元/吨
15元/吨
D乡（人）
25元/吨
30元/吨
分组
频数
0≤x＜1.85
a
1.85≤x＜2.25
9
2.25≤x＜2.5
b
x≥2.50
15
A城（出）
B城（出）
C乡（人）
20元/吨
15元/吨
D乡（人）
25元/吨
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