人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教学设计

课程目标

学科素养

A.了解任意角的概念；

B.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念；

C.掌握终边相同的角的表示方法；

D.会判断角所在的象限。

1.数学抽象：角的概念；

2.逻辑推理：象限角的表示；

3.数学运算：判断角所在象限；

4.直观想象：从特殊到一般的数学思想方法；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.  初中学过角的概念，范围是多大?

【答案】有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.

角的范围：0°～360°。

二、探索新知

（一）角的概念

1.思考：

（1）.体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？

（2）.经过1小时，秒针、分针各转了多少度？

（3）.在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？

2.角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.

3.角的构成要素：终边、始边、顶点。

4.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.

这样，我们就把角的概念推广到了任意角.

【解析

6.

7、把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反数。

。

（二）、象限角

思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？

思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？

【解析】

   第四象限角          第一象限角        第三象限角

第二象限角                 轴线角

思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？

【解析】象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.

（三）、终边相同的角

思考1： -32°，328°，-392°是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？

【解析】都是第四象限角，这些角相差3600的整数倍数。

思考２：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？

【解析】

思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？

【解析】S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，

即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

例1. 在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

【解析】所以在范围内，与所以它是第二象限角。

思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？

【解析】x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ；       

x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；

y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； 

y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z 。

例2. 写出终边在y轴上的角的集合.

解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}.

而所有与270°角终边相同的角构成集合

S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.

于是，终边在y轴上的角的集合

S=S1∪S2

={β|β=90°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z }

={β|β=90°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z }

={β|β=90°+n·180°，n∈Z }

例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来.

【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.

S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有：

-315°，-135°,45°,225°,405°,585°.

通过复习初中角的概念，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过思考引入角的概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过画正角、负角，让学生进一步理解任意角的概念，提高学生分析问题、概括能力。

通过思考，让学生理解象限角的概念，提高学生解决问题的能力。

通过思考，进一步理解象限角的概念，提高学生解决问题的能力。

通过思考，让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力。

通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力。

三、达标检测

1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)

A．A＝B＝C　　B．A⊆C   C．A∩C＝B  D．B∪C⊆C

【答案】D

【解析】由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正确．

2．下列各个角中与2 019°终边相同的是(　　)

A．－149°　　　B．679°    C．319°  D．219°

【答案】D　

【解析】因为2 019°＝360°×5＋219°，所以与2 019°终边相同的角是219°.

3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．

【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}　

【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．

4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：

(1)－120°；(2)640°.

【解析】　(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．

当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，

∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．

(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．

当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，

∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．

通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 角的定义；

2.角的分类：正角、零角、负角；

3.象限角;

4.终边相同的角的表示法。

五、作业

习题5.1   1.（3）,2.（4）（7）,3题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。