2021届高考数学题型模块练之解答题（6）解析几何

2021届高考数学题型模块练之解答题（6）解析几何

1.已知椭圆过点,且离心率为.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，试证明：直线l过定点并求此定点.

2.已知椭圆过点过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆

分别交于两点.

(1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为

(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存

在,请说明理由.

3.如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为,一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且它的实轴长等于虚轴长,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为和,其中在x轴的同一侧.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程.

(2)是否存在题设中的点P,使得?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

4.过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点.

(1)若直线的倾斜角为45°,求线段的长.

(2)不过点的动直线交抛物线于两点,且以为直径的圆经过点,求动直线恒过的定点的坐标.

5.已知三点,曲线上任意一点满足.

(1)求曲线的方程;

(2)若是曲线上分别位于点两边的任意两点,过分别作曲线的切线交于点,过点作曲线的切线分别交直线于两点.证明:与的面积之比为定值.

6.已知是抛物线的焦点,点在轴上,为坐标原点,且满足,经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于两点,且.

(1)求抛物线的方程;

(2)直线与抛物线交于两点,若求点到直线的最大距离.

答案以及解析

1.答案：(1)设椭圆方程为，由题意知 ,

且离心率，得.

所以椭圆的方程为

(2) 由题意设，设l方程为，

由知

∴，由题意，∴

同理由知

∵，∴ [1]

联立得

∴需 [2]

且有 [3]

[3]代入[1]得，∴，

由题意，

∴ (满足[2])得l方程为,过定点,即P为定点.

2.答案：(1)证明:∵椭圆经过点,

当且仅当,即时,等号成立,

此时椭圆的离心率

(2)解:∵椭圆的焦距为2,,又

当直线的斜率不存在时,由对称性,设,

在椭圆上,到直线的距离

.

当直线的斜率存在时,设的方程为,

由得,

设,则

,即,

到直线的距离

综上,到直线的距离为定值.且定值为故存在定圆使得圆与直线总相切.

3.答案：(1)设椭圆的标准方程为,半焦距为c.

由题意,知椭圆的离心率为,得.

∵,∴,

∴,∴椭圆的标准方程为,

∴椭圆的焦点坐标为.

∵双曲线为等轴双曲线,且顶点是椭圆的焦点,

∴该双曲线的标准方程为.

(2)假设存在满足题意的点P.

设,则,

∵点P在双曲线上,∴.

设的方程为,则的方程为,

设,由,得,

故,

∴,

同理,

由题知,

∴.

∵,

∴,

又,∴

,

∴,即存在点满足题意.

4.答案：(1)因为点在抛物线上,

所以,解得,所以抛物线的方程为.

设.

因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1.

又,所以直线的方程为,即.

联立得方程组消去并整理,得.

由根与系数的关系,得,解得.

将代入,得,所以点的坐标为.

由弦长公式,得.

(2)方法一 当直线的斜率不存在时,直线与抛物线有一个交点,不符合题意.

当直线的斜率存在时,设动直线的方程为.

联立得方程组消去并整理,得.

由根与系数的关系,得.

所以.

由为圆的直径,且为圆上一点知,

所以,所以,

即

,

所以.

所以或,

所以或.

当时,动直线的方程为,

经过点,不符合题意.

当时,动直线的方程为,

经过定点.

综上所述,动直线恒过的定点的坐标为.

方法二 设.

因为以为直径的圆经过点,所以.

又,所以.

因为,

所以.

整理,得,

所以或,

即或.

因为直线经过点,

所以直线的方程为.

①当时,,所以.

令,则；令,则.

联立得方程组解得

即定点的坐标为.此时点与点重合,不符合题意,舍去.

②当时,,所以.

令,则；令,则.

联立得方程组解得

即定点的坐标为.

综上所述,动直线恒过的定点的坐标为.

5.答案：(1)由

,

化简得曲线的方程:.

(2)显然直线存在斜率,设直线的方程为代入抛物线,

得到,故.

易知抛物线在点处的切线方程分别为,联立组成方程组,得到点的坐标,即;

抛物线在点处的切线l的方程为,将其分别与切线的方程联立组成方程组,可

求得点的横坐标分别为,则,又,

点到的距离点到的距离,

,

所以与的面积之比为定值.

6.答案：(1)易知点,又,所以点,

则直线的方程为.

联立,解得或,

所以,

故抛物线的方程为.

(2)设的方程为.

联立,有,

设点,则,

所以.

所以解得.

所以直线的方程为,恒过点.

又点,故当直线与轴垂直时,点到直线的最大距离为4.