山东省济宁市泗水县2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+答案

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单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知i是虚数单位，则复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图所示，=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量、是两个非零向量，且，则与的 夹角为（ ）
A. B. C. D.
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛D．66斛
5.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（ ）
A B. C. D.
6．如图，平行六面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ）
A. B. C. D.
8.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则下列结论中错误的是。（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则实数a的值为2
B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C. 实数是（为的共轭复数）的充要条件
D. 若，则实数a的值为2
10. 若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
11．如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )
A．∥平面B．平面∥平面
C．直线与直线所成角的大小为D．
12．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是的面积的
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数，的共轭复数为，则________.
14. 已知，，，则与的夹角为________.
15. 直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，AD＝2，AB＝1，BC＝3，现将梯形ABCD绕边AD所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为_____，表面积为_____．
16.如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）设，若，求实数的值.
18.（本小题满分12分）已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.
（1）求平面与平面所成二面角的大小；
（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.
20（本小题满分12分）.如图，四边形中，.
（1）用表示；
（2）若，点在上，，点在上，，，求.
21.（本小题满分12分） 如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，点E是CD的中点，将△DAE沿线段AE折起到PAE的位置，F为PB的中点．
（1）证明：平面PAE；
（2）若PB＝2，求证：平面PAE⊥平面ABCE．
22．（本小题满分12分）
如图所示，在四边形中：，，，，．点为四边形的外接圆劣弧（不含）上一动点．
（1）证明：；
（2）若，设，，求的最小值．
《课程标准》达标测试高一数学试题 答案
选择题：1-8ABBBD,DBD,9ACD10ACD11ABD12ACD
三、填空题：13. 1 14. 15. (1). (2). （7+）π 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
解：（1）因为，，
所以，，，
所以，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以，，
又，所以，
所以.
18.（本小题满分12分）解：（1）因为为纯虚数，
所以，即，
解得，
此时，由韦达定理得，
.
（2）复数满足，即，
不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，
不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，
所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.
.
19.（本小题满分12分）
解：（1）由题意可知底面是边长为1的正方形，则，
又因为垂直于底面，平面，则，
由于，则平面，而平面，
所以，则即为平面与平面所成二面角的平面角，
由可知，在中，；
（2）由，且，为棱的中点，
所以由等腰三角形性质可知,又因为，且，
所以平面，而平面，所以，而且，所以平面，而平面，所以，
则异面直线与垂直，所以异面直线与的夹角为.
20（本小题满分12分）.
解：（1）因为，
所以；
（2）由已知：，，得：，，
在中，，，∴，，
在中，，，∴，，
∴，又∵，∴，，
在中，，，，∴，
∴，∵∴.
21.（本小题满分12分）
（1）如图，取中点，连接，∵是中点，∴，
原矩形中是中点，∴，，∴，
∴平行四边形，∴，
又平面PAE，平面PAE，∴平面PAE；
（2）取中点，连接，∵，∴，
又，，∴，
，
在中，，
∵，∴，即，
，平面ABCE，平面ABCE，∴平面ABCE．
又平面，∴平面PAE⊥平面ABCE．
22．（本小题满分12分）
22.（12分）
解：（1）在中，由余弦定理知：
1分
所以，又因为，所以3分
所以分别为方程的两根，
因为，所以4分
所以，所以5分
（2）因为，所以是四边形的外接圆的直径，
所以四边形为矩形，连接，6分
设交于，作平行于且交于，则四边形为平行四边形，
所以，又因为，
由平面向量基本定理知：，所以8分
在中，因为，，所以
由正弦定理知：，所以
在中，
所以，10分
所以
11分
因为，所以，所以
所以，当时，取最小值，最小值为．12分