2021年内蒙古包头市东河区中考二模数学试题(word版含答案）

这是一份2021年内蒙古包头市东河区中考二模数学试题(word版含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年内蒙古包头市东河区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若则的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．在网上搜索引擎中输入“2016中考”，能搜索到与之相关的结果个数约为0.564亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是
A．a3•a3=a9 B．（﹣3a3）2=9a6 C．5a+3b=8ab D．（a+b）2=a2+b2
4．如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）

A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18平方单位
6．下列说法正确的是（ ）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则甲的成绩比乙的稳定
D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
7．如图，在菱形中，点E是的中点，以C为圆心、为半径作弧，交于点F，连接、，若，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A．2 B． C．11 D．
9．如图，的内接正五边形的对角线与相交于点G，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
10．已知下列命题：①若，则；②若，则；③内错角相等；④周长相等的所有等腰直角三角形全等，其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝.其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（ ）

A．3 B．4 C．6或3 D．3或4

二、填空题
13．计算：__．
14．如图，在中，四边形是圆内接四边形，，则的度数是________．

15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______．
16．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25，则∠ACB的度数为_____．

17．如图，点A的坐标为（﹣4，0），直线y=x+n与坐标轴交于点B、C，连接AC，如果∠ACD=90°，则n的值为_____．

18．如图，过原点的直线与反比例函数y=（x>0）、反比例函数y=（x>0）的图象分别交于A、B两点，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=（x>0）的图象于C点，以AC为边在直线AC的右侧作正方形ACDE，点B恰好在边DE上，则正方形ACDE的面积为______．

19．如图，在中，，以AB为直径的分别交AC，BC于点D，E，过点B作的切线与AC的延长线交于点F，若，，则BF的长为___________．

20．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：（1）BF为∠ABE的角平分线；（2）DF=2BF；（3）2AB2=DF•DB；（4）sin∠BAE=．其中正确的结论为___（填序号）


三、解答题
21．某中学对全校九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，解答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是 度；
（3）学校九年级共有600人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩类别可以达到“中”（不包括“中”）以上？
（4）学校准备从成绩进步最大的3名同学（1名男生、2名女生）中随机选取2名同学介绍学习经验，则选出的同学恰好是2名女生的概率是 ．
22．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道，在街道处的正上方处有一架无人机，该无人机在处测得俯角为的街道处有人聚集，然后沿平行于街道的方向再向前飞行60米到达处，在处测得俯角为的街道处也有人聚集，已知两处聚集点之间的距离为120米，求无人机飞行的高度．(参考数据：，，，)

23．在国家“一带一路”的倡议下，2018年6月将在浙江宁波举办中国中东欧国家投资贸易博览会，某东欧客商准备在宁波采购一批特色商品．

根据以上信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
若该东欧客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元件，B型商品的售价为220元件，且全部售出，设购进A型商品m件，写出该客商销售这批商品的利润与m之间的函数关系式，并求出利润的最大值．
24．如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点D，E，F，且．是的外接圆，的平分线交于点G，交于点H，连接、．

（1）求证：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值．
25．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

（1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点（不含端点B和C），连接，以为边作等边，连接．求证：；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点（不含端点B和C），连接以为腰作等腰，使，连接．判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长．
26．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴负半轴交于点C，连接、．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）D、E分别为、的中点，连接，P为上的动点，，垂足为Q，，垂足为N，连接．
①当与相似时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


参考答案
1．B
【详解】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．
2．D
【分析】
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】
解：∵0.564亿=56400000，
∴56400000=，
故选D．
【点睛】
本题考查了混合单位的大数的科学记数法，将混有单位的大数还原成纯数是解题的关键．
3．B
【详解】
分析：根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断：
A、a3•a3=a6，本选项错误；
B、（﹣3a3）2=9a6，本选项正确；
C、5a和3b不是同类项，不可合并，本选项错误；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，本选项错误．
故选B．
4．C
【分析】
先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
【详解】
∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
5．D
【分析】
根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据数据进行表面积计算即可.
【详解】
解：、该几何体是长方体，正确；
、该几何体的高为3，正确；
、底面有一边的长是1，正确；
、该几何体的表面积为：平方单位，故错误，
故选．
【点睛】
本题考查的是几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.
6．C
【分析】
根据题意抽样调查、必然事件、方差及概率的定义即可依次判断．
【详解】
A.为了解三名学生的视力情况，采用全面调查，故错误；
B.在平面内，任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故错误；
C.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则甲的成绩比乙的稳定，正确；
D.一个抽奖活动中，中奖概率为，不能表示抽奖20次就有1次中奖，故错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知抽样调查、必然事件、方差及概率的定义．
7．A
【分析】
连接AC，根据菱形的性质求出∠BCD和BC=AB=6，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
【详解】
解：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，
∵∠B=60°，E为BC的中点，
∴CE=BE=3=CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B=60°，
∴∠BCD=180°-∠B=120°，
由勾股定理得：，
∴，
∴阴影部分的面积S=S△AEC+S△AFC-S扇形CEF=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC、△AFC和扇形ECF的面积是解此题的关键．
8．B
【分析】
由x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组计算即可求出m的值．
【详解】
解：由题意得：y=-x，
代入方程组得：，
消去x得：，
解得：m=-2，
故选：B．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．D
【分析】
在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG＝x，易知：∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，∠BAG＝∠AGB＝72°，得出AB＝BG＝AE＝2，由△AEG∽△BEA，可得AE2＝EG•EB，可得22＝x（x＋2），解方程即可．
【详解】
解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG＝x，
易知：∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝BG＝AE＝2，
∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴，
∴AE2＝EG•EB，
∴，
解得x＝−1＋或x＝−1−（舍去）．
∴EG＝-1．
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题．
10．A
【分析】
根据不等式的性质，绝对值的意义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质判断即可．
【详解】
解：①若，，则；故①错误；
②若，则；故②错误；
③两直线平行，内错角相等；故③错误；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等，故④正确；
故选：A
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
11．B
【分析】
由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；
根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；
利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；
设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=，则可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
而a＜0，
∴，所以②错误；
∵C（0，c），OA=OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，
∴ac﹣b+1=0，所以③正确；
设A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x1•x2=，
∴OA•OB=，所以④正确．
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系．
12．C
【分析】
当为直角三角形时，有两种情况：①当点在矩形内部时，如图1所示，先利用勾股定理求出BD=10，根据折叠的性质得，设AE=x，则，DE=8-x，然后在Rt中运用勾股定理计算出x的值即可；②当点落在边BC上时，如图2所示，此时四边形是正方形，得出AE=AB=6．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠C=90°，AB=6，AD=8
∴
当为直角三角形时，有两种情况：
①当点在矩形内部时，如图1所示，

由折叠的性质得，，
设，则，
∴
在Rt中，
∴
解得，x=3
∴AE=3；
②当点落在边BC上时，如图2所示，

此时四边形是正方形，
∴AE=AB=6
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键．
13．
【分析】
先计算负整数指数幂和去绝对值，再相加即可．
【详解】
解：．
故答案为：
【点睛】
本题考查实数的混合运算．掌握负整数指数幂和绝对值的性质是解题关键．
14．125°
【分析】
首先通过同弧所对的圆心角与圆周角的关系求出∠A，再利用圆内接四边形的对角互补，可以求出∠BDC．
【详解】
解：∵∠BOC=110°
∴∠A=∠BOC=×110°=55°
又∵四边形ABDC是圆内接四边形
∴∠A+∠D=180°
∴∠D=180°-55°=125°
故答案为125°．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．且
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据分式方程的解为正数，得到x大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【详解】
解：解得，
关于x的分式方程的解为正数，
，
，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为且．
【点睛】
本题考查分式方程的解，任何时候都要考虑分式分母不为0．
16．105°
【分析】
首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质得∠DCB度数，再利用三角形外角的求法得∠ADC，在中利用等腰三角形求得∠A=∠ADC，最后利用角的和差求∠ACB＝∠ACD+∠BCD即可．
【详解】
解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠B＝25，
∴∠DCB＝∠B＝25，
∴∠ADC＝50，
∵CD＝AC，
∴∠A＝∠ADC＝50，
∴∠ACD＝80，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝80+25＝105，
故答案为：105．
【点睛】
本题考查了尺规作图、垂直平分线、等腰三角形、三角形外角的性质，解决此类题目的关键是发现尺规作图所作的内容，并会应用垂直平分线、等腰三角形、三角形外角的性质．
17．-
【详解】
∵直线与坐标轴交于点B，C，
∴B点的坐标为（，0），C点的坐标为（0，n），
∵A点的坐标为（﹣4，0），∠ACD=90°，
∴，
∵，，
∴，
即，
解得n=，n=0（舍去）．
故答案为．
18．4-4
【分析】
设直线AB的解析式为y=kx，A（m，），B（n，），则C（m，），根据直线的解析式求得k==，进而求得n=，根据AC=AE，求得=-1，因为S正方形=AC2=（）2，即可求得正方形ACDE的面积.
【详解】
设直线AB的解析式为y=kx，A（m，），B（n，），C（m，），
∴，
∴k==，
∴n=m，
∵AC=AE，即=n-m，
∴=m-m，，解得：=-1，
∵S正方形=AC2=（）2=4×=4（-1）=4-4.
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征.
19．
【分析】
连接AE，由圆周角定理和等腰三角形的性质可证得BE=CE，再根据切线性质可得AB⊥BF，根据等角的余角相等证得∠BAE=∠CBF，则，进而可求得BE和BC，过C作CM⊥BF于M，在RT△CMB中求得CM、BM，然后证明△FCM∽△FAB，再根据相似三角形的性质列出比例，即可求得BF．
【详解】
解：连接AC，
∵AB是的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵直线BF是的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABE+∠CBF=90°，又∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
则，
在Rt△AEB中，AB=5，，
∴BE=，
∴BC=2BE=，
过C作CM⊥BF于M，则CM∥AB，
在Rt△CMB中，，即，
解得：CM=2，
由勾股定理得：BM= =4，
由AB∥CM得△FCM∽△FAB，
，
即，
解得：BF= ，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点的性质和之间的联系间的联系，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解答的关键．
20．（1）（3）（4）
【详解】
试题分析：（1）正确．根据菱形性质即可判定．
（2）错误．假设成立推出矛盾即可．
（3）正确．由△ADO∽△FDA，得，AD2=DO•DF，两边乘2即可得到证明
（4）正确．由AD∥BC，得==，又sin∠BAE=，由此即可证明．
故答案为（1）（3）（4）．

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
21．（1）图见解析；（2）72°；（3）384人；（4）
【分析】
(1)结合条形统计图和扇形统计图，先用成绩类别为“不合格”的人数除以16%，得到被抽取的学生总数，再用被抽取的学生总数×成绩类别中为“中”的人数所占的百分比求得成绩类别中为“中”的人数，从而补全条形统计图；
(2)成绩类别中为“优”的扇形所占的百分比=成绩类别中为“优”的人数÷被抽取的学生总数，它所对应的圆心角度数=360°×成绩类别中为“优”的扇形所占的百分比；
(3)该校九年级学生的数学成绩达到中以上的人数=600×(成绩类别中为“优”所占的百分比+成绩类别中为“良”的扇形所占的百分比)；
(4)根据概率公式计算求解即可．
【详解】

解：(1) 被抽取的学生总数=成绩类别为“不合格”的人数除以16%=8÷16%=50
∴成绩类别中为“中”的人数=被抽取的学生总数×成绩类别中为“中”的所占的百分比
∴成绩类别中为“中”的人数=50×20%=10
故条形统计图如上图所示．
(2) 成绩类别中为“优”的所占的百分比=成绩类别中为“优”的人数÷被抽取的学生总数
∴成绩类别中为“优”的所占的百分比= (10÷50)×100%=20%
故它所对应的圆心角度数=360°×成绩类别中为“优”的所占的百分比=360°×20%=72°
故答案为：72°．
(3) 该校九年级学生的数学成绩达到中以上的人数=600×(成绩类别中为“优”所占的百分比+成绩类别中为“良”的扇形所占的百分比)；
∴该校九年级学生的数学成绩达到中以上的人数=600×(20%+44%)=384
故答案为：384人．
(4)所有可能的结果为：男生，一号女生；男生，二号女生；一号女生，二号女生．一共三种可能性，
∴由概率公式知：恰好是两名女生的概率=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及概率公式的运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键，熟练的掌握概率计算公式也是尤为重要的．
22．180米
【分析】
过点E 作EM⊥DC于M．设 BM=x 米．则AC=BC=EM（60+x）米．DM=（120+x）米，得出tan∠D==＝0.75，解出x即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点作于．





∴四边形为矩形．
米．
设米．
则米，米．
在中，


解得：
(米)．
∴飞机高度为180米．
答：无人机飞行的高度为180米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元；，当时，y有最大值为18750元．
【分析】
设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为元根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出分式方程即可解决问题；
依据不等关系列出不等式，即可得到m的取值范围，再根据总利润两种商品的利润之和，列出一次函数表达式，即可解决问题．
【详解】
设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为元．
由题意：，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．
设客商购进A型商品m件，则客商购进B型商品件，该客商销售这批商品的利润为y元，
，
，
由题意可得：，
，
随着m的增大而增大，
当时，y有最大值为18750元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题．
24．（1）见解析；（2）与相切，见解析；（3）
【分析】
（1）证明，只需结合题意，找见全等所需条件，即可证明．
（2）要说明与的位置关系，只需证明，即证明即可．
（3）只需证明，将转化为，利用勾股定理求出EF2，将EF和HF关系推导出，就可以计算出相关结果．
【详解】
（1）∵，为，
∴
∵，
∴，
在和中，

∴．
（2）结论：与相切．
理由：如下图，

连接，
∵是的中垂线，，
∴，
∴．
由（1），而，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切．
（3）如下图，

连接，，
∵是的平分线，
∴．．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的内接圆，
∴为的直径，
∴，
又，
∴，
∴，
在中，，
∴
∴
在中
∴
∴
即
【点睛】
本题主要考查圆内三角形全等证明、三角形相似的判定，直线与圆的位置关系、勾股定理计算等相关知识点．能根据图形分析证明和计算所需的条件，是解答此类题关键．
25．（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】
（1）问题发现易证AB=AC，AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论；
（2）变式探究由等腰三角形的性质得出∠BAC=（180°-∠ABC），∠PAQ═（180°-∠APQ），由∠APQ=∠ABC，得出∠BAC=∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出，易证∠BAP=∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，得出∠ABC=∠ACQ；
（3）解决问题连接AB、AQ，由正方形的性质得出，∠BAC=45°，，∠PAQ=45°，易证∠BAP=∠CAQ，由，得出△ABP∽△ACQ，则，求出BP=CQ=6，求出PC，即可得出结果．
【详解】
解：（1）问题发现：
证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴BP=CQ；
（2）变式探究：
解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ；理由如下：
∵在等腰△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=（180°-∠ABC），
∵在等腰△APQ中，AP=PQ，
∴∠PAQ═（180°-∠APQ），
∵∠APQ=∠ABC，
∴∠BAC=∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC=∠ACQ；
（3）解决问题：
解：连接AB、AQ，如图3所示：

∵四边形ADBC是正方形，
∴，∠BAC=45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴，∠PAQ=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵，
∴△ABP∽△ACQ，
∴，
∵CQ=，
∴BP=CQ=6，
设PC=x，则BC=AC=6+x=8，
解得：x=2，
∴
在，，
答：正方形的边长为．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
26．（1）；（2）①点P的坐标为或；②存在，
【分析】
（1）将A（0，4），B（3，0）代入抛物线的解析式得到关于b、c的二元一次方程组，然后解得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）①先求得BC=4，AB的长，接下来依据平行线分线段成比例定理得到PQ=FO=2，然后证明∠PQN=∠QBN，由相似三角形的判定定理可知当或时，△PQN与△ABC相似，从而可求得BQ的长，从而得到点P的坐标；
②由题意可知QN=2，然后再求得sin∠ABO=，最后在△QBN中，依据锐角三角函数的定义可求得QB的长，从而得到点P的坐标．
【详解】
解：（1）将代入抛物线的解析式得：，
解得：．
∴抛物线的解析式为：．
（2）①如图1所示：

∵令，

解得：，
∴．
∴．
∵D、E分别为、的中点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
．
∴．
∴当或时，与相似．
∵当时，，
解得：．
∵，
∴．
∴．
∴点P的坐标为．
当时，，
解得：．
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为．
综上所述点P的坐标为：或．
②如图2所示：

∵，
∴．
∵，
∴，
∵由（2）可知，
∴．
∴，即，
解得：．
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数的定义以及勾股定理，证得当或时，△PQN与△ABC相似是解题的关键．