2020-2021学年7.2.2用坐标表示平移教学设计

7．2.2 用坐标表示平移

1. 掌握用坐标表示点的平移的规律；(重点)

2. 了解并掌握用坐标表示图形平移的规律与方法．(难点)

一、情境导入

如图是小丽利用平移设计的一幅作品，说一说平移的特点．你能在坐标系中快速画出这  一组图案吗？

二、合作探究

探究点一：点在坐标系中的平移

 平面直角坐标系中，将点 A(－3，－5)向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位到

点 B，则点 B 的坐标为( ) A．(1，－8) B．(1，－2) C．(－6，－1)  D．(0，－1)

解析：利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解．点A 的坐标为(－3，－5)，将点 A 向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位到点 B，点 B 的横坐标是－3－3＝－6，纵坐标为－5＋4＝－1，即(－6，－1)．故选 C.

方法总结：本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减右  加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．

探究点二：图形在坐标系中的平移

【类型一】 根据平移求对应点的坐标

 如图，把△ABC 经过一定的平移变换得到△A′B′C′，如果△ABC 边上点 P 的

坐标为(a，b)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点 P′的坐标为( )

A．(a＋6，b－2) B．(a＋6，b＋2) C．(－a＋6，－b)  D．(－a＋6，b＋2)

解析：根据已知三对对应点的坐标，得出变换规律，再让点 P 的坐标也做相应变化．∵A(－3，－2)，B(－2，0)，C(－1，－3)，A′(3，0)，B′(4，2)，C′(5，－1)，∴△ ABC 向右平移 6 个单位，向上平移 2 个单位得到△A′B′C′.∵△ABC 边上点 P 的坐标为(a，b)，

∴点 P 变换后的对应点 P′的坐标为(a＋6，b＋2)．故选 B.

方法总结：坐标系中图形上所有点的平移变化规律是一致的，解决此类问题的关键是根  据已知对应点找到各对应点之间的平移变化规律．

【类型二】 平移作图

 如图，在平面直角坐标系中，P(a，b)是△ABC 的边 AC 上一点，△ABC 经平移后

点 P 的对应点为 P1(a＋6，b＋2)．

(1) 请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点 A、C、A1、C1 的坐标；

(2) 求出以 A、C、A1、C1 为顶点的四边形的面积．

解析：(1)横坐标加 6，纵坐标加 2，说明向右移动了 6 个单位，向上平移了 2 个单位；

(2)以 A、C、A1、C1 为顶点的四边形的面积可分割为以 AC1 为底的 2 个三角形的面积．

解：(1)△A1B1C1 如图所示，各点的坐标分别为 A(－3，2)、C(－2，0)、A1(3，4)、C1(4，

2)；

(2)如图，连接 AA1、CC1.S△AC1A1＝1×7×2＝7，S△AC1C＝1×7×2＝7，故 S 四边形

2 2

ACC1A1＝S△AC1A1＋S△AC1C＝7＋7＝14.

方法总结：坐标系中图形平移的坐标变化规律为：左右移动改变点的横坐标，左减右加；   上下移动改变点的纵坐标，下减上加．求四边形的面积通常转化为求几个三角形的面积的和．

探究点三：平面坐标系中点及图形平移的规律探究

 如图，一个动点在第一象限及 x 轴、y 轴上运动，在第 1 秒钟，它从原点运动到(1，

0)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)→…，且每秒移动一个单位，那么第 2011 秒时动点所在位置的坐标是               ．

解析：方法一：动点运动的规律：

(0，0)，动点运动了 0 秒；

(1，1)，动点运动了 1×2＝2(秒)，接着向左运动； (2，2)，动点运动了 2×3＝6(秒)，接着向下运动； (3，3)，动点运动了 3×4＝12(秒)，接着向左运动； (4，4)，动点运动了 4×5＝20(秒)，接着向下运动；

…

于是会出现：(44，44)，动点运动了 44×45＝1980(秒)，接着动点向下运动，而 2011－ 1980＝31，故动点的位置为(44，44－31)，即(44，13)．

方法二：由题目可以知道，动点运动的速度是每秒钟运动一个单位长度，(0，0)→(1，

0)→(1，1)→(0，1)用的秒数分别是 1 秒钟，2 秒钟，3 秒钟，到(0，2)用 4 秒，到(2，2)用 6

秒，到(2，0)用 8 秒，到(3，0)用 9 秒，到(3，3)用 12 秒，到(0，4)用 16 秒，依次类推，到

(5，5)用 30 秒．由上面的结论，我们可以得到的第一象限角平分线上的点从(0，0)到(1，1)

用 2 秒，到(2，2)用 6 秒，到(3，3)用 12 秒，则由(n，n)到(n＋1，n＋1)所用时间增加(2n＋2)

秒，这样可以先确定第 2011 秒时动点所在的正方形，然后就可以进一步推得点的坐标是(44，

13)．

方法三：该动点每一次从一个轴走到另一个轴所走的步数要比上一次多走一横步，多走  一竖步，共多走两步．

从(0，0)点走到(0，1)点共要 3 步，从(0，1)点走到(2，0)点共 5 步……当 n 为偶数时， 从(0，n－1)点到(n，0)点共走(2n＋1)步；当 n 为奇数时，从(n－1，0)点到(0，n)点共走(2n

＋1)步，这里 n＝1，2，3，4，….

∵3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)＝(n＋1)2－1，∴当 n＝44 时，n(n＋2)＝(n＋1)2－1

＝452－1＝2024，离 2011 最近，此时 n 为偶数，即该过程是从(0，43)到(44，0)的过程.2024

－2011＝13，即从(44，0)向上“退”13 步即可．当到 2011 秒时动点所在的位置为(44，13)．故答案为(44，13)．

方法总结：此类归纳探索猜想型问题的解题关键是总结规律，由特殊到一般的归纳思想  来确定点所在的大致位置，进而确定该点的坐标．

三、板书设计

用坐标表示平移：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

通过本课时的学习，学生经历图形坐标变化与图形平移之间的关系的探索过程，掌握空间与图形的基础知识和基本作图技巧，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，   培养形象思维能力，激发数学学习的好奇心与求知欲．教学过程中让学生能积极参与数学学习活动，积极交流合作，体验数学活动的乐趣