海南省北京师范大学万宁附中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题+答案

这是一份海南省北京师范大学万宁附中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题+答案，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，复数，在复平面内对应的点重合，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
4．若，，则（ ）
A． B．5 C． D．
5．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（ ）
A．505B．404C．303D．202
7．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种B．种C．种D．种
8．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共4题，每题5分，共20分）
9．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则（ ）
A．n＝7 B．所有项的系数和为0
C．偶数项的系数和为－64 D．展开式的中间项为－35x3和35x4
10．随机变量的分布列为：其中，下列说法正确的是（ ）
A． B． C．随的增大而减小 D．有最大值
11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布B．
C．X的期望D．X的方差
12．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
在上函数为增函数
在上函数为增函数
在上函数有极大值
是函数在区间上的极小值点
第II卷（非选择题）
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为__________．
14．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为_______.
15．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
16．已知函数，，函数图象上任意一点的切线的斜率恒成立，则的取值范围是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本小题10分)在中，，___________.
（1）求；
（2）若，求.
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分)
18．（本小题12分）已知等差数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和．
19．（本小题12分）如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，
为圆的直径，且.
（1）求证：；
（2）若，求二面角平面角的余弦值.
20．（本小题12分）自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．
（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望．
（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
21．（本小题12分）已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)已知P(0，2)，过点Q(﹣1，﹣2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．
22．（本小题12分）已知函数f(x)＝x+alnx+1．
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值
参考答案
选择题
填空题
24 14. 3
32 16.
解答题
17．解：（1）因为，分
所以分
因为，所以分
即分
因为，分
（2）若选①
则在中，由余弦定理，分
得，分
解得或(舍去)，所以分
若选② ，则
，分
由正弦定理，得，解得，分
所以分
若选③ ，由余弦定理得分
，解得或(舍去)分
所以分
18．解：（1）设等差数列的公差为，分
因为，且．
所以，分
解得，分
所以数列的通项公式．分
，分
所以，分
所以分
．分
19．解：（1）证明：连接，在圆柱中中，平面，又平面，
∴，又，分
∴平面，又平面，分
∴，又在中，为的中点，分
分
（2）连接且与该圆柱的底面垂直，以点为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，分
∴，，，，分
设面的法向量是，由，得，取，得，分
设面的法向量是，由，得，取，得，分
由图可知，二面角为锐角，分
∴二面角的余弦值为分
20．解：（1）因为可取，所以分
所以，分
，．分
所以的分布列如下：
；分
（2）因为实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，
所以注射一次疫苗的有效率为，分
又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，
所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为：，所以无法保证，分
设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求，
则，解得分
所以每支疫苗的有效率至少要达到才能满足以上要求分
解:(Ⅰ)由题意得，分
解得a2＝8，b2＝4，分
所以椭圆C的方程为＝1．分
(Ⅱ)k1+k2为定值4，证明如下：
(ⅰ)当直线l斜率不存在时，l方程为x＝﹣1，由方程组 易得，，
于是k1＝，k2＝，所以k1+k2＝4为定值．分
(ⅱ)当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即y＝kx+k﹣2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0，分
由韦达定理得(*)分
∴k1+k2＝＝
＝＝2k+(k﹣4)•，将(*)式代入上式得k1+k2＝4为定值分
22．解：（1）函数f(x)的定义域为分
当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；分
当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，分
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，分
此时f(x)有极小值，无极大值；分
（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，分
①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，分
∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．分
②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝，不符合条件．分
③若－e当1当－a0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，
则a＝0或a＝－1，均不符合条件．分
综上所述，a＝－1．
0
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
B
A
B
A
C
C
ABC
ABD
ABC
AC