初中数学沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试同步练习题

第23章达标测试卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝7，AC＝24，则sin B的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

2．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cos  α等于(　　)

A.  B.  C.  D.

3．当30°＜∠A＜90°时，sin  A的值(　　)

A．大于  B．小于  C．小于  D．大于，小于1

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝，BC＝2，则sin ∠ACD的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

 (第4题)　　  (第5题)　　　　 (第6题)　　    　　 (第7题)

5．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6 m，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为(　　)

A. m  B. m  C．6 cos  52° m  D. m

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的正割，用“sec A”表示，如设该直角三角形各边长为a，b，c，则sec A＝，则下列说法正确的是(　　)

A．sec B·sin A＝1 

B．sec B＝ 

C．sec A·cos B＝1 

D．sec2 A·sec2 B＝1

 7.如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为(　　)

A．10海里/时  B．30海里/时 

C．20海里/时  D．30海里/时

8．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是

∠BAC.若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为(　　)

A．75 m  B．50 m  

C．30 m   D．12 m

 (第8题)　　　　 (第9题)　　　　 (第10题)

9．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满水，乙杯是空的．若把甲杯中的水全部倒入乙杯，则乙杯中的水面与图中点P的距离是(　　)

A．2 cm  B．4  cm 

C．6 cm  D．8 cm

10．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan ∠CAD的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

二、填空题(每题3分，共18分)

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝________．

12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则sin B的值为________．

13．如图，在△ABC中，BC＝ ＋，∠C＝45°，AB＝ AC，则AC的长为________．

   (第13题)　    　   (第14题)　　  (第15题)　　    (第16题)

14.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan (α＋β)________tan α＋tan β.(填“＞”“＜”或“＝”)

15．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是____________________．

 16.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y＝(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC＝32，tan ∠DOE＝，则BN的长为________．

三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)

17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．

18．已知α为锐角，且sin 2α－sin  α＋1＝0，求sin  α的值．

19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos ∠DAC.

(1)求证：AC＝BD；

(2)若sin C＝，AD＝24，求BC的长．

20．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部B点处到坡面CD顶端C点处的水平距离BC＝1米，旗杆AB的高度约为多少？(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，计算结果保留一位小数)

21．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：

(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．施工队原计划每天修建多少千米？

22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．

(1)小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA＝PD，如图①，则tan ∠BAP的值为________；

(2)请你在图②中再画出一个满足条件的△APD(与小明画的不同)，并求此时tan ∠BAP的值．

答案

一、1．D　2．B　3．D　4．A　5．D　6．A

7．D　点拨：∵∠CAB＝10°＋20°＝30°，∠CBA＝80°－20°＝60°，

∴∠C＝90° .

∵AB＝20海里，

∴AC＝AB·cos  30°＝10海里．

∴救援船航行的速度为10÷＝30(海里/时)．故选D.

8．A　点拨：∵∠BCA＝90° ，tan ∠BAC＝，BC＝30 m，

∴tan ∠BAC＝＝＝，

解得AC＝75 m，故选A.

9．C

10．D　点拨：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵tan  B＝，即＝，

∴设AD＝5x，则AB＝3x.

∵∠CDE＝∠BDA，

∠CED＝∠BAD＝90°，

∴△CDE∽△BDA，

∴＝＝＝，

∴CE＝x，DE＝x，

∴AE＝x，

∴tan ∠CAD＝＝，故选D.

二、11．　12．　13．2

14．＞　点拨：如图，易知△ABC是等腰直角三角形，∴tan (α＋β)＝tan 45°＝1，tan α＋tan β＝＋＝＜1，

∴tan (α＋β)＞tan α＋tan β.

15.＜BC＜2

16．3　点拨：∵S矩形OABC ＝32，∴AB·BC＝32.

∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，

∴AB＝DE，OD＝OA.

在Rt△ODE中，tan ∠DOE＝＝，∴OD＝2DE，

∴DE·2DE＝32，解得DE＝4，∴AB＝4，OA＝8.

在Rt△OCM中，

∵tan ∠COM＝＝，而OC＝AB＝4，∴MC＝2，

∴M(－2，4)．把M(－2，4)的坐标代入y＝，得k＝－2×4＝－8，

∴反比例函数表达式为y＝－.

当x＝－8时，y＝－＝1，则N(－8，1)，

∴BN＝4－1＝3.故答案为3.

三、17．解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，

则S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝12，解得AD＝4.

在Rt△ABD中，BD＝＝＝4 ，

∴tan B＝＝＝.

18．解：由题意，得sin  α＝2或sin  α＝.∵α为锐角，

∴0＜sin  α＜1.

∴sin  α＝.

19．(1)证明： 在Rt△ABD和Rt△ADC中，tan B＝，cos ∠DAC＝.

∵tan B＝cos ∠DAC，

∴＝，∴AC＝BD.

(2)解：在Rt△ADC中，sin C＝，则AC＝＝＝26，

∴CD＝＝＝10.

∴BC＝BD＋CD＝AC＋CD＝26＋10＝36.

20．解：如图，延长AB交ED的延长线于M，过点C作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形．

由题意得在Rt△CJD中，＝＝，

设CJ＝4k米，DJ＝3k米，∵CD＝2米，

∴(3k)2＋(4k)2＝22，

∴k＝(负值舍去)，

∴BM＝CJ＝米，BC＝MJ＝1米，DJ＝米，∴EM＝MJ＋DJ＋DE＝米．

在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，

∴tan 58°＝≈1.60，

解得AB≈13.1米．

故旗杆AB的高度约为13.1米．

21．解：(1)如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D.

∵在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝100千米，

∴CD＝BC·sin 30°＝100×＝50(千米)，

BD＝BC·cos 30°＝100×＝50 (千米)．

∵在Rt△ACD中，∠A＝45°，

∴∠ACD＝45°＝∠A，

∴AD＝CD＝50千米，

AC＝＝＝50 (千米)，

∴AB＝AD＋BD＝50＋50 (千米)，

∴AC＋BC－AB＝50 ＋100－(50＋50 )＝50＋50 －50 ≈35(千米)．

答：从A地到景区B旅游可以少走约35千米．

(2)设施工队原计划每天修建x千米，依题意得

－＝50，

解得x≈0.54，

经检验x≈0.54是原分式方程的解．

答：施工队原计划每天修建约0.54千米．

22．解：(1)1

(2)(画法一)如图①所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°.

∵AP＝AD＝6，AB＝3，

∴在Rt△ABP中，BP＝＝3 .∴tan ∠BAP＝＝.

(画法二)如图②所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°.

∵PD＝AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，

∴在Rt△CPD中，CP＝＝3 .

∴BP＝BC－CP＝6－3 .

∴tan ∠BAP＝＝2－.