人教版数学八年级下册期末专题复习四　特殊平行四边形第3课时 拓展训练 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用

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人教版数学八年级下册期末专题复习四　特殊平行四边形第3课时  拓展训练  特殊四边形的性质在动点问题中的巧用1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．         2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．               3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE，证明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．(2) 如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．          4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．   
参考答案1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB. ∴AE∥CF.2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证BE＝DF；证明：连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．证明：连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF. ∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B. ∴△ABE≌△ACF. ∴AE＝AF.又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE，证明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC. ∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．∴AF＝CF.设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm.在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5 cm.(2) 如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．解：显然当P点在AF上，Q点在CD上时，以A，C，P，Q四点为顶点不可能构成平行四边形；同理，当P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形．如图，连接AP，CQ.若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.∵四边形AFCE是菱形，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA＝(AD＋CD)－(QD＋CD)＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得t＝.∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；证明：如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.又∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.又∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH是正方形．(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．【点拨】解动点问题的关键是把动点看成定点，找到等量关系，一般情况下，这个等量关系在点运动时仍然成立．解：直线EG经过一个定点．理由：如图，连接BD，DE，BG，设EG与BD交于O点．∵BE∥DG，BE＝DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形ABCD的中心．∴直线EG必过正方形ABCD的中心．