2021年中考数学二轮专题《四边形证明题》复习（含答案）

这是一份2021年中考数学二轮专题《四边形证明题》复习（含答案），共12页。试卷主要包含了在Rt△DCG中，CD==2，解得x=4/3，即AQ=4/3，5QC，∴OC=0等内容，欢迎下载使用。

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=4,点F为DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,且DG=1,求AE的长．

在平行四边形ABCD中,点E在AD边上,连接BE、CE,EB平分∠AEC.
（1）如图1,判断△BCE的形状,并说明理由；
（2）如图2,若∠A=90°,BC=5,AE=1,求线段BE的长．
准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF=EB，连接DF交AC于点G，连接CF.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求CD的长.
如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
(2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

如图，已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．
(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；
(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；
（3）在（2）的条件下折痕EF的长．

(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.
①求证:四边形AFF'D是菱形;
②求四边形AFF'D的两条对角线的长.
图1 图2
如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
在正方形ABCD中,点E在CD边上,AE的垂直平分线分别交AD、CB于F、G两点,垂足为点H．
（1）如图1,求证：AE=FG；
（2）如图2,若AB=9,DE=3,求HG的长．
如图,在正方形ABCD中,E在BC上,以AE边作等腰Rt△AEF,∠AEF=90°,AE=EF,FG⊥BC于G．
（1）如图1,求证：GF=CG；
（2）如图2,AF交CD于点M,EF交CD于点N,当BE=3,DM=2时,求线段NC的长．
如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边
FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE=DF．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若BO=4，DE=2，求正方形ABCD的面积．
如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.
探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得
EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；
（2）拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE长．
\s 0 参考答案
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE=BE，
在△AED和△BFE中，∴△AED≌△BFE（AAS）；
（2）EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF，理由为：连接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，
由（1）△AED≌△BFE得：DE=EF，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直平分DF．
（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB．
∴∠DAE=∠E．∴∠BAE=∠E．∴AB=BE．∴CD=BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，
∴∠BAF=∠DFA．∴∠DAF=∠DFA．∴DA=DF．
∵F为DC的中点，AB=4，∴DF=CF=DA=2．
∵DG⊥AE，DG=1，∴AG=GF．∴AG=．∴AF=2AG=2．
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF=EF，∴AE=2AF=4．
（1）如图1中，结论：△BCE是等腰三角形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠AEC，∴∠AEB=∠BEC，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE，∴△CBE是等腰三角形．
（2）解：如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，
在RT△ECD中，∵∠D=90°，ED=AD﹣AE=4，EC=BC=5，∴AB=CD=3，
在RT△AEB中，∵∠A=90°AB=3．AE=1，∴BE=．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=∠FDB，∴EB∥DF，
∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．
（2）∵四边形BFDE为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，AB=2，∴AE==，BF=BE=2AE=，
∴菱形BFDE的面积为：×2=
证明：（1）∵点E为CD中点，
∴CE=DE.
∵EF=BE，
∴四边形DBCF是平行四边形.
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC.
∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°.
在Rt△FCG中，CF=6，∴，.
∵DF=BC=4，∴DG=1.在Rt△DCG中，CD==2
解：（1）GF=GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；
（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，
在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=4/3．
(1)当△CDQ≌△CPQ时，DQ=PQ，CP=CD=5，在Rt△BCP中，有PB=4，∴AP=1.
在Rt△APQ中，设AQ＝x，则PQ=DQ=3－x.
根据勾股定理，得AQ2＋AP2=PQ2，即x2＋12=(3－x)2.解得x=4/3，即AQ=4/3.
（2）过M作EF⊥CD于F，交AB于点E，则EF⊥AB.
∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°.∴∠PME＋∠DMF=90°.
∵∠FDM＋∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME.∵M是QC的中点，∴DM=PM=0.5QC.
在△MDF和△PME中，∴△MDF≌△PME(AAS)．∴ME=DF，PE=MF.
∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD.∵QM=MC，∴DF=CF=0.5DC=2.5，
∴ME=2.5，FM=3-2.5=0.5.∵FM是△CDQ的中位线，∴DQ=1.∴AQ=3－1=2.
(1)四边形PECF是矩形．理由如下：在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2＋BC2=32＋42=52=AB2.∴∠ACB=90°.
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°.∴四边形PECF是矩形．
（2）CM的长度会改变．理由：连接PC，由(1)证得四边形PECF是矩形，
∵M是EF的中点，∴M在PC上且EF=PC，CM=0.5PC.
过点C作CD⊥AB，当CD=PC时PC最小，此时PC=2.4.
∵点P在斜边AB上(不与A、B重合)，∴PC＜BC=4.
∴PC的范围是2.4≤PC＜4，即EF的范围是2.4≤EF＜4.
∴CM的范围是1.2≤CM＜2.
（1）证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC.同理：OC=OE.∴OE=OF.
（2）由(1)知：OF=OC，OC=OE，∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE=∠OFC＋∠OEC.
而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC=180°，∴∠ECF=∠OCF＋∠OCE=90°.∴EF=13.∴OC=0.5EF=6.5.
（3）连接AE、AF.当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．
理由如下：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时，有OA=OC，∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠ECF=90°，∴四边形AECF为矩形．

解：(1)C.
(2)①证明:∵AD=BC=5,S▱ABCD=15,AE⊥BC,∴AE=3.
如图,∵EF=4,∴在Rt△AEF中,AF=5.∴AF=AD=5.
又△AEF经平移得到△DE'F',∴AF∥DF',AF=DF',
∴四边形AFF'D是平行四边形.
又AF=AD,∴四边形AFF'D是菱形.
②如图,连接AF',DF.
在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF= SKIPIF 1 < 0 .
在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'=3 SKIPIF 1 < 0 .
∴四边形AFF'D的两条对角线长分别为 SKIPIF 1 < 0 ,3 SKIPIF 1 < 0 .
解：
（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE=FD，∴BO=OD，
∵AO=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE=5，
∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×8=4，
由勾股定理得，AO===3，∴AC=2AO=2×3=6，
∴S四边形ABCD=BD•AC=×24×6=72．
（1）证明：过D点作DN∥FG交BC于点N，交AE于点M
在正方形ABCD中，AD∥BC，AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
则四边形FGND是平行四边形，∴DN=FG，∵FG垂直平分AE，∴∠FHA=90°
∵DN∥FG，∴∠DMA=∠FHA=90°，∴∠NDE+∠AED=90°，
又∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠NDE=∠DAE，
在△DNC和△AED中，，∴△DNC≌△AED（ASA），∴DN=AE，∴AE=FG；
（2）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD=9，DE=3
在Rt△ADE中，AE===3，tan∠DAE===，
∴在Rt△AHF中，tan∠FAH==，点H为AE中点，AH=HE=AE=，
∴FH=AH=，∴HG=FG﹣FH=3﹣=．
解：（1）四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，∵FG⊥BC，∴∠EGF=90°，
在△ABE和△EGF中，∴△ABE≌△EGF，∴GF=BE，EG=AB，
∵AB=BC，∴BC=EG，∴BE=CG，∴GF=CG，
（2）如图2，过F作FH⊥CD，则∠FHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∴∠FHC=∠BCD，
∴FH∥BC∥AD，∴∠HFN=∠GEF，由（1）知，∠GEF=∠BAE，∴∠BAE=∠HFN，
∵∠FHN=∠ABE=90°，∴△ABE∽△FHN，∴
∵AD∥HF，∴，∵AB=AD，∴，
∵BE=3，DM=2，∴，设HN=x，则HM=x，∵∠HCG=∠CGF=∠CHF=90°，
∴四边形CGFH是矩形，
∵CG=FG，∴矩形CGFH是正方形，∴HF=CH=CG=BE=3，∴CN=3﹣x，
∴BC=CD=CH+HM+DM=3+x+2=5+x，∴EC=BC﹣BE=5+x﹣3=x+2，
∵∠CNE=∠HNF，∠ECN=∠FHN=90°，∴△ECN∽△FHN，
∴，∴，∴x=或x=﹣9（舍），∴NC=3﹣x=．
（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如图设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
又AE=DF，
∴△ABE≌△DAF；
(2)∵△ABE≌△DAF，
∴∠FAD=∠ABE，
又∠FAD+∠BAO=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴△ABO∽△EAB，
∴AB：BE=BO：AB，即AB：6=4：AB，
∴AB2=24，
所以正方形ABCD面积是24．
解：(1)PB=PQ.证明：连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD，∠BCD=90°，BC=CD，
又∵PC=PC，
∴△DCP≌△BCP(SAS)，
∴PD=PB，∠PBC=∠PDC，
∵∠PBC＋∠PQC=180°，∠PQD＋∠PQC=180°，
∴∠PBC=∠PQD，
∴∠PDC=∠PQD，
∴PQ=PD，
∴PB=PQ
(2)PB=PQ.证明：连接PD，
同(1)可证△DCP≌△BCP，
∴PD=PB，∠PBC=∠PDC，
∵∠PBC=∠Q，
∴∠PDC=∠Q，
∴PD=PQ，
∴PB=PQ.
18.解：