山西省晋中市榆次第一中学校2020-2021学年高一下学期数学月考试卷（必修二平面向量与复数）（word版有答案）

这是一份山西省晋中市榆次第一中学校2020-2021学年高一下学期数学月考试卷（必修二平面向量与复数）（word版有答案），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知复数z满足z(1＋3i)＝1－i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A.－eq \f(2,5)B.eq \f(2,5)C.－eq \f(2,5)I D.eq \f(2,5)i
2.(2020·武汉调研)已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)∥c，则λ＝( )
A.3 B.－3 C.eq \f(1,7)D.－eq \f(1,7)
3.如图，若向量eq \(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z，则z＋eq \f(4,z)表示的复数为( )
A.1＋3i B.－3－i
C.3－i D.3＋i
4.(2021·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P(eq \r(3)，1)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转eq \f(π,2)后得到向量eq \(OQ,\s\up6(→))，则点Q的坐标是( )
A.(－eq \r(2)，1) B.(－1，eq \r(2))
C.(－eq \r(3)，1) D.(－1，eq \r(3))
5.设复数z满足(1＋i)z＝2i(其中i为虚数单位)，则下列结论正确的是( )
A.|z|＝2 B.z的虚部为i
C.z2＝2 D.z的共轭复数为1－i
6.已知单位向量e1，e2分别与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量eq \(AC,\s\up6(→))＝3e1－e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝2e1＋6e2，则平面四边形ABCD的面积为( )
A.eq \r(10)B.2eq \r(10)C.10 D.20
7.已知向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))满足|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则|eq \(OC,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.1 B.eq \f(\r(5),2) C.eq \r(2) D.eq \r(3)
8.(2021·海南新高考诊断)如图，在等腰直角△ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B)，过E作AD的垂线，垂足为F，则eq \(AF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))B.eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(4,15)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(8,15)eq \(AC,\s\up6(→))D.eq \f(8,15)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,15)eq \(AC,\s\up6(→))
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))B.eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))D.eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
10.已知a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
11.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A.若|z1－z2|＝0，则eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2
B.若z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，则eq \(z,\s\up6(－))1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2
D.若|z1|＝|z2|，则zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
12.(2020·济南调研)下列命题正确的是( )
A.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))
B.在△ABC中，若O点满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则O点是△ABC的重心
C.若a＝(1，1)，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3，1)
D.在△ABC中，若eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(CA,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))|)＋\f(\(CB,\s\up6(→)),|\(CB,\s\up6(→))|)))，则P点的轨迹经过△ABC的内心
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知复数z1＝a＋2i，z2＝2＋3i(i是虚数单位)，若z1·z2是纯虚数，则实数a＝________.
14.在直角梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(DC,\s\up6(→))(λ＞0)，∠B＝60°，AD＝eq \r(3)，E为CD中点，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－1，则|eq \(DC,\s\up6(→))|＝________.
15.(2021·重庆联考)若eq \f(a＋bi,i)(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________.
16.已知平面向量a，b满足|2a＋b|＝1，且a·(a－b)＝1，则|a－b|的取值范围为________.
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－2).
(1)若|c|＝2eq \r(5)，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝1，且a＋b与a－2b垂直，求a与b的夹角θ的余弦值.
18.(本小题满分12分)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D，E分别是边AB，AC上的点，AE＝1，且eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2).
(1)求|eq \(AD,\s\up6(→))|；
(2)若P是线段DE上的一个动点，求eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的最小值.
19.(本小题满分12分)设两个向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1.
(1)若(a＋2b)·(a－b)＝1，求a，b的夹角；
(2)若a，b的夹角为60°，向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
20.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝ceq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→)).
(1)求角B的大小；
(2)若|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值.
21.(本小题满分12分)(2021·宜昌模拟)如图，在同一个平面内，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))的模分别为1，1，eq \r(2)，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为α，且tan α＝7，eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为45°.若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，求m＋n的值.
22.(本小题满分12分)(2020·镇江模拟)已知向量m＝(eq \r(3)cs x，－1)，n＝(sin x，cs2x).
(1)当x＝eq \f(π,3)时，求m·n的值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，且m·n＝eq \f(\r(3),3)－eq \f(1,2)，求cs 2x的值.
参考答案
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.
答案 A
解析 z＝eq \f(1－i,1＋3i)＝－eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i，虚部为－eq \f(2,5)，故选A.
2.
答案 C
解析 由题意知a－λb＝(1＋λ，1－3λ)，c＝(2，1).若(a－λb)∥c，则(1＋λ)×1－2(1－3λ)＝0，解得λ＝eq \f(1,7)，故选C.
3.
答案 D
解析 由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋eq \f(4,z)＝1－i＋eq \f(4,1－i)＝1－i＋eq \f(4（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1－i＋eq \f(4＋4i,2)＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D.
4.
答案 D
解析 由P(eq \r(3)，1)，得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs \f(π,6)，2sin \f(π,6)))，
∵将向量eq \(OP,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转eq \f(π,2)后得到向量eq \(OQ,\s\up6(→))，
∴Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,2)))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,2))))).
又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,2)))＝－sin eq \f(π,6)＝－eq \f(1,2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,2)))＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，∴Q(－1，eq \r(3)).故选D.
5.
答案 D
解析 由(1＋i)z＝2i，得z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1＋i，
∴|z|＝eq \r(2)，z的虚部为1，z2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为1－i，故选D.
6.
答案 C
解析 由向量正交分解的定义可知，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(2，6)，则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋（－1）2)＝eq \r(10)，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋62)＝2eq \r(10).
因为eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝3×2＋(－1)×6＝0，所以AC⊥BD，即平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积S＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|·|\(BD,\s\up6(→))|,2)＝eq \f(\r(10)×2\r(10),2)＝10.故选C.
7.
答案 D
解析 |eq \(OC,\s\up6(→))|2＝(λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→)))2＝[λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))]2
＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))，
因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2，所以|eq \(OC,\s\up6(→))|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋3，当λ＝eq \f(1,2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))|取得最小值eq \r(3).
8.
答案 D
解析 设BC＝6，因为D，E分别为斜边BC的三等分点且D靠近点B，则BD＝DE＝2.
在△ABD中，AB＝3eq \r(2)，BD＝2，∠ABD＝45°，
由余弦定理可知
AD＝eq \r(AB2＋BD2－2AB·BDcs∠ABD)＝eq \r(10)，
则AD＝AE＝eq \r(10).
在△DAE中，cs∠DAE＝eq \f(AD2＋AE2－DE2,2AD·AE)＝eq \f(4,5).
因为AF⊥EF，所以eq \f(AF,AD)＝eq \f(AF,AE)＝eq \f(4,5)，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AD,\s\up6(→)).
因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(8,15)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,15)eq \(AC,\s\up6(→))，故选D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.
答案 AC
解析 如图所示，设BC中点为E，连接AE，D在AE上，则eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)·eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝
eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)).故选AC.
10.
答案 AD
解析 由题意得a－2b＝(－2－2k，7)，
∵(a－2b)⊥c，∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k，7)·(1，2)＝0，－2－2k＋14＝0，解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，∴e＝±eq \f(b,\r(62＋（－3）2))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))，故选AD.
11.
答案 ABC
解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2正确；
对于B，若z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，则z1和z2互为共轭复数，
所以eq \(z,\s\up6(－))1＝z2正确；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，
若|z1|＝|z2|，则eq \r(aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1))＝eq \r(aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2))，即aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)，
所以z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2，所以z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2正确；
对于D，若z1＝1，z2＝i，
则|z1|＝|z2|，而zeq \\al(2,1)＝1，zeq \\al(2,2)＝－1，
所以zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)，错误.故选ABC.
12.
答案 BD
解析 如图，A，B，C，D四点满足条件，但eq \(AB,\s\up6(→))≠eq \(CD,\s\up6(→))，故A错误；
对于B，设BC的中点为D，当eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0时，能得到eq \(OA,\s\up6(→))＝－(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，所以eq \(OA,\s\up6(→))＝－2eq \(OD,\s\up6(→))，所以O是△ABC的重心，故B正确.
对于C，向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C错误.
对于D，根据向量加法的几何意义知，以eq \f(\(CA,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))|)，eq \f(\(CB,\s\up6(→)),|\(CB,\s\up6(→))|)为邻边所得到的平行四边形是菱形，点P在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得P点在∠ACB的平分线所在直线上，故D正确.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.答案 3
解析 因为复数z1＝a＋2i，z2＝2＋3i，所以z1·z2＝(a＋2i)·(2＋3i)＝2a－6＋(3a＋4)i，又z1·z2是纯虚数，所以2a－6＝0，且3a＋4≠0，解得a＝3.
14.答案 2
解析 设|eq \(DC,\s\up6(→))|＝x，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \r(3)×2×eq \f(\r(3),2)＋eq \r(3)×eq \f(x,2)×0＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))x＋(－1)×eq \f(x,2)·x＝3－x－eq \f(1,2)x2＝－1，求得x＝2，即|eq \(DC,\s\up6(→))|＝2.
15.答案 －7
解析 ∵eq \f(a＋bi,i)＝eq \f(（a＋bi）（－i）,－i2)＝b－ai，(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，eq \f(a＋bi,i)(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，∴b＝3，a＝－4，则a－b＝－7，故答案为－7.
16.答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(13)－1,2)，\f(\r(13)＋1,2)))
解析 设向量2a＋b与a－b的夹角为θ，则a·(a－b)＝eq \f(1,3)(2a＋b＋a－b)·(a－b)＝eq \f(1,3)(|2a＋b||a－b|cs θ＋|a－b|2)＝1，化简得|a－b|cs θ＋|a－b|2＝3，即cs θ＝eq \f(3,|a－b|)－|a－b|∈[－1，1]，解得eq \f(\r(13)－1,2)≤|a－b|≤eq \f(\r(13)＋1,2).
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
解 (1)设c＝(x，y)，
由c∥a和|c|＝2eq \r(5)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1·y＋2·x＝0，,x2＋y2＝20，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－4.))
∴c＝(－2，4)或c＝(2，－4).
(2)∵a＋b与a－2b垂直，∴(a＋b)·(a－2b)＝0，
即a2－a·b－2b2＝0，
又|a|＝eq \r(12＋（－2）2)＝eq \r(5)，|b|＝1，
∴a·b＝3，∴cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(3\r(5),5).
18.(本小题满分12分)
解 (1)因为eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(AE,\s\up6(→))|cs 60°＝eq \f(1,2)，|eq \(AE,\s\up6(→))|＝1，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1.
(2)因为|eq \(AE,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|，∠DAE＝60°，
所以△DAE为等边三角形，所以∠BDP＝∠CEP＝120°，BD＝2，CE＝1.
设DP＝x(0≤x≤1)，则EP＝1－x，
所以eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝(eq \(DP,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→)))·(eq \(EP,\s\up6(→))－eq \(EC,\s\up6(→)))
＝eq \(DP,\s\up6(→))·eq \(EP,\s\up6(→))－eq \(DP,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(EP,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))
＝x(1－x)cs 180°－xcs 60°－2(1－x)·cs 60°＋2×1×cs 60°
＝x2－eq \f(1,2)x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,16)≥－eq \f(1,16)，
当x＝eq \f(1,4)时，等号成立，
所以eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的最小值为－eq \f(1,16).
19.(本小题满分12分)
解 (1)由(a＋2b)·(a－b)＝1得a2＋a·b－2b2＝1.
又a2＝4，b2＝1，所以a·b＝－1.
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝－eq \f(1,2)，
又0≤〈a，b〉≤180°，
所以a，b的夹角为120°.
(2)由已知得a·b＝2×1×cs 60°＝1，
所以(2ta＋7b)·(a＋tb)＝2ta2＋(2t2＋7)a·b＋7tb2＝2t2＋15t＋7，
因为向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，
所以2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－eq \f(1,2).
设2ta＋7b＝λ(a＋tb)(λ＜0)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2t＝λ，,7＝tλ，))解得2t2＝7，
当t＝－eq \f(\r(14),2)时，λ＝－eq \r(14)，此时向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为180°，不符合题意.
所以向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角时，t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))).
20.(本小题满分12分)
解 (1)由题意得(eq \r(2)a－c)cs B＝bcs C.
根据正弦定理得(eq \r(2)sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
所以eq \r(2)sin Acs B＝sin(C＋B)，
即eq \r(2)sin Acs B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cs B＝eq \f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4).
(2)因为|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，所以|eq \(CA,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，
即b＝eq \r(6)，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq \r(2)ac≥2ac－eq \r(2)ac＝(2－eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋eq \r(2)).
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(3（\r(2)＋1）,2)，
因此△ABC的面积的最大值为eq \f(3\r(2)＋3,2).
21.(本小题满分12分)
解 ∵tan α＝7，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs α＝eq \f(\r(2),10)，sin α＝eq \f(7\r(2),10).
∵eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为α，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
∴eq \f(\r(2),10)＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))|·|\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·（m\(OA,\s\up6(→))＋n\(OB,\s\up6(→))）,|\(OA,\s\up6(→))|·|\(OC,\s\up6(→))|)
＝eq \f(m＋n\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),\r(2)).①
又∵eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为45°，
∴eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),|\(OB,\s\up6(→))|·|\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))·（m\(OA,\s\up6(→))＋n\(OB,\s\up6(→))）,|\(OB,\s\up6(→))|·|\(OC,\s\up6(→))|)
＝eq \f(m\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))＋n,\r(2)).②
又cs∠AOB＝cs(45°＋α)＝cs αcs 45°－sin αsin 45°＝eq \f(\r(2),10)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(7\r(2),10)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(3,5)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|·|eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB＝－eq \f(3,5)，
将其代入①②得m－eq \f(3,5)n＝eq \f(1,5)，－eq \f(3,5)m＋n＝1，两式相加得eq \f(2,5)m＋eq \f(2,5)n＝eq \f(6,5)，∴m＋n＝3.
22.(本小题满分12分)
解 (1)当x＝eq \f(π,3)时，m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，
所以m·n＝eq \f(3,4)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).
(2)m·n＝eq \r(3)cs xsin x－cs2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,2).
若m·n＝eq \f(\r(3),3)－eq \f(1,2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),3)－eq \f(1,2)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,3)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(6),3)，
则cs 2x＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))×eq \f(\r(3),2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))×eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),3)×eq \f(1,2)
＝eq \f(3\r(2)-\r(3),6).