黑龙江省哈尔滨市师大附中2020-2021学年高二上学期期末考试+数学（文）+Word版含答案

哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试

数学试卷（文科）

考试时间：120分钟      满分：150分

一．选择题（本题共12题，每题5分，共60分，每题给出的四个选项中只有一项正确）

1. 在上随机取一个值，则的概率为（        ）

A.                                   B.                                 C.                                   D.

2. 已知 ，则的最大值为（  C     ）

A. 1                                    B.                              C.                                 D.6

3. 若椭圆C的参数方程为 （ 为参数），则椭圆C的焦距为（         ）

A.  1                                      B. 2                                  C.                               D.

4. 若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则实数 的值为

 A. 或  B. 或  C. 或  D. 或

5. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　 　)

A.                                      B.                                     C.                                      D.

6. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6:5:7 ．防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为  的样本，样本中高三年级的学生有 人，则 等于（        ）

A.  B.  C.  D.

7. 设 ， 是椭圆 ： 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为 （          ）

 A.  B.  C.  D.

8. 若从极点 作圆 的弦 ，则 的中点 的轨迹的极坐标方程是（          ）

A.            B.          C.               D.       

9. 设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 、 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则   （        ）

 A. 或  B. 或  C.  D.

10. 甲、乙两个班级共105名学生，某次数学考试后按照大于等于 分为优秀，小于 分为非优秀统计成绩，已知甲班优秀人数为10人，乙班非优秀人数为30人，在全部 人中随机抽取 人为优秀的概率为 ，则认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率至多为（      ）(参考公式：)

A.                               B.                                    C.                                  D. 

11. 设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，，离心率为 ． 是 上一点，且 ．若 的面积为 ，则 （         ）

 A.  B.  C.  D.

12. 已知椭圆 的左、 右顶点分别为 ，， 为椭圆 的右焦点，圆 上有一动点 ， 不同于 ， 两点，直线 与椭圆 交于点A,Q，则 的取值范围是 （         ）

 A.  B.

 C.  D.

二．填空题：（本题共4题，每题5分，共20分）

13.已知实数 ， 满足条件 则目标函数 的最大值为                 ．

14.某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）

随机抽取了 名职工的体测数据作为样本进行调查，

具体数据如茎叶图所示，则从茎叶图上看，该项健康

指数整体上相对较高的是                   职工．  

15. 直角坐标系中直线 过点 ，倾斜角为 ，

．以直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为

 ．若直线 与曲线 相交于 ， 两点， ，则 的值为                  ．

16. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为，经过点 的直线交 于 ， 两点，过点 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 、 两点，直线 交 于 点，若 ，则下述四个结论：① ；②直线 的倾斜角为 或 ；③ 是 的中点；④ 为等边三角形，其中所有正确结论的编号是                              ．     

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17. （本题满分10分）

已知 ，求证：（1）；（2）． 

18. （本题满分12分）

下面给出了根据我国 年 年水果人均占有量 （单位：）和年份代码 绘制的散点图和线性回归方程的残差图（ 年 年的年份代码 分别为 ）．

（1）          根据散点图相应数据计算得，，求 关于 回归方程；

（2）          由（1）中的回归方程预测2020年我国水果人均占有量；

（3）   根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．

参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

 ，．

19. （本题满分12分）

如今电商已成为一种新型的购销平台，经销某种商品的一个电商在任何一个销售季度内，每售出 吨该商品可获利润 万元，提前采购后未能售出的商品，每 吨亏损 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．若电商为下一个销售季度提前采购了 吨该商品．现以 （单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．

（1）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 的平均数与中位数的大小；（2）根据直方图估计利润 不少于 万元的概率．

20. （本题满分12分）

在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．

（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程

（2）射线 的极坐标方程为 ，若射线 与曲线 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长．

21. （本题满分12分）

已知 为坐标原点，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ．

（1）求抛物线 的方程；

（2）过点 作直线 交抛物线 于P,Q两点，记 ， 的面积分别为 ，，证明： 为定值．

22. （本题满分12分）

已知椭圆 的离心率为 ，，，， 的面积为 ．

（1）求椭圆 的方程；

（2）设 是椭圆 上一点，且不与四个顶点重合，若直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证： 为等腰三角形．

哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试

数学答案（文科）

考试时间：120分钟      满分：150分

一．选择题

   B  C  B  A  B  C  C  C  D  B  A  D

二．填空题

13.  4        14. 男        15.         16.① ③ ④      

三．解答题

17.（1）因为, 则

 ，

故              ——————————————————  5分

（2）因为, 所以

 ．故．————  5分

18. （1） 由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，且从左下方到右上方分布，从而 与 之间是线性相关，且为正相关关系                                                —— ——————  1分

     由题中数据可得 ，，从而

                                                                 —— ——————  5分

  ．                                                     —— ——————  7分

从而所求 关于 的线性回归方程为 ．                       —— ——————  8分

 （2）令x=8，（） ，故预测2020年我国水果人均占有量为187     — ——————  10分

（3） 由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在0附近水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好．                                                                                              —— ——————  12分

19. （1）估计一个销售季度内市场需求量 的平均数为

 （吨）；

—— ——————  2分

由频率分布直方图易知，由于 时，

对应的频率为 ，

而 时，对应的频率为 ，

因此一个销售季度内市场需求量 的中位数应属于区间 ，

于是估计中位数应为 （吨）．—— ——————  6分

（2） 当 时，；

当 时，，

所以，．

      根据频率分布直方图知，

当 时，由 ，得 ，

当 时，由 ，

所以，利润 不少于 万元当且仅当 ，                           —— ——————  9分

由频率分布直方图可知市场需求量 的频率为 ．

所以下一个销售季度内的利润 不少于 万元的概率的估计值为 ．—— —————  12分

20. （1） 由 所以 ，

所以曲线 的普通方程为 ．                                           —— ——————  3分

由 ，可得 ，

所以直线 的直角坐标方程为 ．                                 —— ——————  5分

      （2） 方法一：

曲线 的方程可化为 ，

所以曲线 的极坐标方程为 ．                                  —— ——————  7分

由题意设 ，，

将 代入 ，可得：，

所以 或 （舍去），                                                               —— ——————  9分

将 代入 ，可得：，                                 —— ——————  11分

所以 ．                                                                         —— ——————  12分

方法二：

因为射线 的极坐标方程为 ，

所以射线 的直角坐标方程为 ，

由 ，解得 ，

由 ，解得 ，

所以 ．

21. （1） 设直线 的方程为：，

与抛物线 联立，消去 得： ；

设 ，，

则    >0,   ；                                             —— ——————  1分

由 ，得

解得 ，所以抛物线 的方程为 ．                                      —— ——————  5分

      （2） 由（）知，点 是抛物线 的焦点，

所以 ，

又原点到直线 的距离为 ，

所以 的面积为 ，—————  8分

又直线 过点 ，且 ，

所以 的面积为 ；         —— ——————  10分

所以 为定值．            —— ——————  12分

22. （1） 由条件解得： 所以椭圆 的方程为 ．—— ——————4分

      （2） 方法一：设 ，所以 ．

可求得直线 ，直线 ．

联立 解得：

所以 ．                                          —— ——————  6分

同理：直线 ，直线 ，

可求得 ．                                   —— ——————  8分

可求得：，

 ，而

其中

 — ——————  11分

所以 ，即 ，所以 为等腰三角形．— —————  12分

方法二：

设 ，所以 ．

可求得直线 ，直线 ．

联立： 解得：

所以 ．

同理：直线 ，直线 ，

可求得 ．

线段 的中点 ，．

所以 ，因为

所以 的斜率不存在，所以 ，所以 为等腰三角形．

方法三：

因为 ，，

 ，

 ，

而

其中

所以 ，即 ，所以 为等腰三角形．