考点11 分式方程及其应用—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

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第一步 小题夯基础


考点11 分式方程及其应用 真题回顾



1.（2019·益阳）解分式方程 时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )
A. x+2＝3 B. x﹣2＝3 C. x﹣2＝3(2x﹣1) D. x+2＝3(2x﹣1)
2.（2020·黑龙江）若关于x的分式方程 有正整数解，则整数m的值是（ ）
A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4
3.（2020·遂宁）关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（ ）
A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3
4.（2012·梧州）关于x的分式方程 无解，则m的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. 2 D. ﹣2
5.（2020·荆门）已知关于x的分式方程 的解满足 ，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定
6.（2020·呼伦贝尔）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.（2020·朝阳）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A. B.
C. D.
8.（2020·自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.（2020·重庆）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A. B. C. D.
10.（2020·郑州）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}=的解为（ ）
A. 1- B. 2- C. 1+或1- D. 1+或﹣1
11.（2020·包头）分式方程 的解是________．
12.（2020·潍坊）若关于x的分式方程 有增根，则m=________．
13.（2019·齐齐哈尔）关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围为________ ．
14（2018·齐齐哈尔）若关于x的方程 + = 无解，则m的值为________．
15.（2019·盘锦）某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆.已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是________km/h.



模拟预测


1.（2020·新都模拟）下列结论正确的是（    ）
A.  是分式方程                                         B. 方程 ＝1无解
C. 方程 的根为x＝0                          D. 解分式方程时，一定会出现增根
2.（2020·拱墅模拟）已知 ，则 的值为（　　）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
3.（2020·抚顺模拟）为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念.地计划将420亩荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前2天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山x亩，可列方程为（         ）
A.       B.       C.       D. 
4.（2020·中牟模拟）某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程（   ）
A.                                   B. 
C.                                   D. 
5.（2020·鹿城模拟）分式方程 的解是________.
6（2020·宜兴模拟）若关于x的方程 的解是非负数，则b的取值范围是________.
7.（2019·咸宁模拟）若关于x的分式方程 无解，则m=________．
8.（2020·嘉兴模拟）某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x kg物品，列出关于x的方程为________.

9.（2019·高台模拟）甲、乙两地相距160km，一辆长途汽车从甲地开出3小时后，一辆小轿车也从甲地开出，结果小轿车与长途汽车同时到达乙地.已知小轿车的速度是长途汽车的3倍，设长途汽车的速度为x千米/时，则小轿车的速度为3x千米/时，依题意可列方程为________.
10.（2012·连云港模拟）今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为________元．


第一步 小题夯基础


考点11 分式方程及其应用 真题回顾



1.（2019·益阳）解分式方程 时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )
A. x+2＝3 B. x﹣2＝3 C. x﹣2＝3(2x﹣1) D. x+2＝3(2x﹣1)
【答案】 C
【考点】解分式方程
【解析】【解答】方程两边都乘以(2x﹣1)，得
x﹣2＝3(2x﹣1)，
故答案为：C．
【分析】求出最简公分母为(2x﹣1)，然后利用等式性质去分母即可.
2.（2020·黑龙江）若关于x的分式方程 有正整数解，则整数m的值是（ ）
A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4
【答案】 D
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则 或 ，
当 时， 是原分式方程的解；
当 时， 是原分式方程的解；
故答案为：D．
【分析】解带参数m的分式方程，得到 ，即可求得整数m的值．
3.（2020·遂宁）关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（ ）
A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3
【答案】 D
【考点】解分式方程，分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：D ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
4.（2012·梧州）关于x的分式方程 无解，则m的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. 2 D. ﹣2
【答案】 A
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2（x﹣1）=m，
∵关于x的分式方程 无解，
∴x﹣1=0，
∴x=1，
把x=1代入方程x﹣2（x﹣1）=m得：1﹣2×（1﹣1）=m，
m=1，
故选A．
【分析】先去分母得出整式方程x﹣2（x﹣1）=m，根据分式方程无解得出x﹣1=0，求出x，把x的值代入整式方程x﹣2（x﹣1）=m，求出即可．
5.（2020·荆门）已知关于x的分式方程 的解满足 ，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定
【答案】 A
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：关于x的分式方程
得x= ，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故答案为：A.
【分析】先解出关于x的分式方程得到x= ，代入 求出k的取值，即可得到k的值，故可求解.
6.（2020·呼伦贝尔）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：
，
故答案为：A．
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．
7.（2020·朝阳）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 B
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，

故答案为：B.
【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程.
8.（2020·自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 A
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得原计划的工作效率为 ，所以原计划的工作时间为 ，实际的工作时间为 ，所以原计划的时间减去实际的时间为40天，则可得
故答案为：A．
【分析】根据题意分别表示实际工作和原计划工作所用的时间，再以时间为等量构造方程即可；
9.（2020·重庆）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要 天完成，则实际每天植树 万棵，需要 天完成，
∵提前5天完成任务，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】设原计划每天植树x万棵，需要 天完成，实际每天植树 万棵，需要 天完成，根据提前5天完成任务列方程即可.
10.（2020·郑州）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}=的解为（ ）
A. 1- B. 2- C. 1+或1- D. 1+或﹣1
【答案】 D
【考点】解分式方程
【解析】【解答】当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x= ， 去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x= ， 即x2﹣2x=1，解得：x=1+或x=1﹣（舍去），经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解．故选D．
【分析】根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．
11.（2020·包头）分式方程 的解是________．
【答案】 x=
【考点】解分式方程
【解析】【解答】
方程左右两边同乘x－2,得 3－x－x=x－2．
移项合并同类项,得 x= ．
经检验, x= 是方程的解．
故答案为: x= ．
【分析】根据分式方程的解题步骤解出即可．
12.（2020·潍坊）若关于x的分式方程 有增根，则m=________．
【答案】 3
【考点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得： ，整理得： ，
∵关于 的分式方程 有增根，即 ，
∴ ，
把 代入到 中得： ，解得： ，
故答案为：3．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出 的值．
13.（2019·齐齐哈尔）关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围为________ ．
【答案】 a≤4且a≠3
【考点】解分式方程
【解析】【解答】
又∵x-1≠0，x＞0，
可解出a≤4且a≠3.
【分析】解分式方程，去分母，合并同类项，再利用解为非负数和分式有意义的条件，可得出a的取值范围。
14（2018·齐齐哈尔）若关于x的方程 + = 无解，则m的值为________．
【答案】﹣1或5或﹣
【考点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m﹣1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=﹣1，
当m+1≠0时，
则x= =±4，
解得：m=5或﹣ ，
综上所述：m=﹣1或5或﹣ ，
故答案为：﹣1或5或﹣ ．
【分析】方程两边都乘以（x+4)(x-4)约去分母，将分式方程转化为整式方程，整理得（m+1）x=5m﹣1，当m+1=0时，一元一次方程无解，此时m=﹣1；当m+1≠0时，则x==±4,解得m=5或- ，综上所述得出答案。
15.（2019·盘锦）某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆.已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是________km/h.
【答案】 20
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得： ，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
答：骑车学生每小时行20千米.
故答案是：20.
【分析】设骑车学生每小时走x千米，则公交车的速度是1.5x千米每小时，根据路程除以速度等于时间得出骑自行车的同学从学校去科技馆需要的时间为小时，坐公交车的同学从学校去科技馆需要的时间小时，根据骑自行车的同学从学校去科技馆需要的时间-坐公交车的同学从学校去科技馆需要的时间=15分钟，列出方程，求解并检验即可.
模拟预测


1.（2020·新都模拟）下列结论正确的是（    ）
A.  是分式方程                                         B. 方程 ＝1无解
C. 方程 的根为x＝0                          D. 解分式方程时，一定会出现增根
【答案】 B
【考点】分式方程的定义，分式方程的解及检验，分式方程的增根
【解析】【解答】解：A、原方程中分母不含未知数，不是分式方程，所以A选项不符合题意；
B、解方程，得x＝﹣2，经检验x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解，所以B选项符合题意；
C、解方程，得x＝0，经检验x＝0是原方程的增根，所以原方程无解，所以C选项不符合题意；
D、解分式方程时，不一定会出现增根，只有使分式方程分母的值为0的根是增根，所以D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程的定义对A进行判断；
解分式方程的方法为，将分式方程化成整式方程进行求解，再判断所得的解是否使分母为零，若分母为0则是方程的增根，原方程无解，若分母不为零，则分式方程有解，即可对B、C、D进行判断.
2.（2020·拱墅模拟）已知 ，则 的值为（　　）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
【答案】 D
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：由 ，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以 的值为 ，
故答案为：D.
【分析】由 ，可得2y＝5（x﹣2y）即得5x＝12y，从而求出结论.
3.（2020·抚顺模拟）为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念.地计划将420亩荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前2天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山x亩，可列方程为（         ）
A.       B.       C.       D. 
【答案】 A
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原来平均每天绿化荒山x亩，则实际平均每天绿化荒山为1.5 x亩，
依题意得： .
故答案为：A.
【分析】设原来平均每天绿化荒山x亩，则实际平均每天绿化荒山1.5 x亩，然后根据原计划绿化的天数－实际绿化的天数=2解答即可.
4.（2020·中牟模拟）某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程（   ）
A.                                   B. 
C.                                   D. 
【答案】 D
【考点】列分式方程
【解析】【解答】解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩1.5x个，根据题意，得方程为： ，
故答案为：D.
【分析】根据题意采用新技术后所用时间 比原计划少用了2个小时列出方程即可.
5.（2020·鹿城模拟）分式方程 的解是________.
【答案】
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x-2）得
x（x+2）-1=（x+2）（x-2）
整理得：2x-1=-4
解之：
经检验是原方程的解.
故答案为：.
【分析】方程两边同时乘以（x+2）（x-2），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验可得方程的根。
6（2020·宜兴模拟）若关于x的方程 的解是非负数，则b的取值范围是________.
【答案】 b≥0且b≠2
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】 ，
2x-b=0，
x= ，
∵关于x的方程 的解是非负数，
∴ ≥0，
∴b≥0，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
∴b≠2，
故答案为：b≥0且b≠2.
【分析】先求出方程的解，得出关于b的不等式，求出不等式的解即可.
7.（2019·咸宁模拟）若关于x的分式方程 无解，则m=________．
【答案】 1或6或-4
【考点】解分式方程，分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘（x+2）（x-2），得
2（x+2）+mx=3（x-2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x+2）（x-2）=0，
解得x=-2或2．
把x=-2代入整式方程，得-2m=-12，解得m=6；
把x=2代入整式方程，得8+2m=0，解得m=-4．
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，可得到（m-1）x=-10，要使原方程无解，因此m-1=0，解方程求出m的值；再将方程的增根代入整式方程，就可求出符合题意的m的值。
8.（2020·嘉兴模拟）某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x kg物品，列出关于x的方程为________.

【答案】 ＝
【考点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B型机器人每小时搬运x kg物品，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg物品，
根据题意可得 ＝ ，
故答案为： ＝ .
【分析】设B型机器人每小时搬运x kg物品，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg物品，根据A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等， 列出方程即可.
9.（2019·高台模拟）甲、乙两地相距160km，一辆长途汽车从甲地开出3小时后，一辆小轿车也从甲地开出，结果小轿车与长途汽车同时到达乙地.已知小轿车的速度是长途汽车的3倍，设长途汽车的速度为x千米/时，则小轿车的速度为3x千米/时，依题意可列方程为________.
【答案】
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设长途汽车的速度为x千米/时，则小轿车的速度为3x千米/时，
根据题意得：  
故答案为：
【分析】 设长途汽车的速度为x千米/时，则小轿车的速度为3x千米/时 ，根据路程除以速度等于时间得出汽车从甲地到乙地的时间为小时，小轿车从甲地到乙地的时间为小时，根据汽车行完全程比小轿车行完全程多用时三小时列出方程即可。
10.（2012·连云港模拟）今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为________元．
【答案】 2200
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出：
（1+10%）= ，
解得：x=2200，
经检验得出：x=2200是原方程的解，
答：则条例实施前此款空调的售价为2200元，
故答案为：2200．
【分析】可根据：“同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，”来列出方程求解．