考点33 与圆有关的位置关系—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

这是一份考点33 与圆有关的位置关系—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析），共26页。
第一步 小题夯基础


考点33与圆有关的位置关系
真题回顾



1.（2019·福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于(   )

A. 55°                                     B. 70°                                     C. 110°                                     D. 125°
2.（2019·湖州）如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（   ）

A. 60°                                      B. 70°                                      C. 72°                                      D. 144°
3.（2019·益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(     )

A. PA＝PB                        B. ∠BPD＝∠APD                        C. AB⊥PD                        D. AB平分PD
4.（2020·徐州）如图， 是 的弦，点 在过点 的切线上， ， 交 于点 .若 ，则 的度数等于（   ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
5.（2018·眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（    ）。

A. 27°                                             B. 32°                           C. 36°                                             D. 54°
6.（2017·莱芜）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（   ）
A. 46°                                        B. 47°                                        C. 48°                                        D. 49°

7.（2017·日照）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（   ）

A.                                         B.                                         C. 5                                        D. 
8.（2019·河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P=________°.

9.（2018·徐州）如图,AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若，若∠C＝18°，则∠CDA＝________.

10.（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是________．

11.（2017·齐齐哈尔）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为________．

12.（2017·贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．

13.（2017·徐州）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB=________°．

14.（2020·泰州）如图，直线a⊥b，垂足为 ，点 在直线 上， ， 为直线 上一动点，若以 为半径的 与直线 相切，则 的长为________.

15.（2018·无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．

模拟预测


1.（2020·广东模拟）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝ ，则AB的长是（    ）

A. 4                                         B.                                          C. 8                                         D. 
2.（2019·港南模拟）如图， 为 的切线， 和 是切点，延长 到点 ,使 ,连接 ,若 ，则 等于（   ）

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
3.（2020·硚口模拟）如图，斜边BC长为 的Rt△ABC内接于⊙O，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON=120°，△ABC的内心为E，当点A在弧MN上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（   ）

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
4.（2020·郑州模拟）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（    ）
A. 2，22.5°                              B. 3，30°                              C. 3，22.5°                              D. 2，30°

5.（2020·河池模拟）如图， 是 的半径， 与 相切， 交 于点 .若 ，则 ________度.

6.（2020·扶风模拟）如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝________度.

7.（2020·沭阳模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，现利用该三角形裁剪一个最大的圆，则该圆半径是________cm.

8.（2020·长兴模拟）如图，AD，AE，BC分别切☉O于点D，E，F，若△ABC的周长为24，则AD的长是（   ）

A. 24                                         B. 16                                         C. 12                                         D. 10
9.（2019·吴兴模拟）如图，∠APB＝30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP＝3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与射线PA相切时，圆心O平移的距离为________.cm．

10.（2020·南宁模拟）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在 上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=________。

第一步 小题夯基础


考点33与圆有关的位置关系
真题回顾



1.（2019·福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于(   )

A. 55°                                     B. 70°                                     C. 110°                                     D. 125°
【答案】 B
【考点】切线的性质，切线的判定
【解析】【解答】解：连接OA，OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故答案为：B．
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质，即可计算得到∠APB的度数。
2.（2019·湖州）如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（   ）

A. 60°                                      B. 70°                                      C. 72°                                      D. 144°
【答案】 C
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C= (5−2)×180°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD== (180°−108°)=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，
故答案为：C.
【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。
3.（2019·益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(     )

A. PA＝PB                        B. ∠BPD＝∠APD                        C. AB⊥PD                        D. AB平分PD
【答案】 D
【考点】切线的性质，切线长定理
【解析】【解答】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故答案为：D．
【分析】根据切线长定理可得PA＝PB，∠BPD＝∠APD，据此判断A、B；从而可得PD⊥AB，PD垂直平分AB，据此判断C、D.
4.（2020·徐州）如图， 是 的弦，点 在过点 的切线上， ， 交 于点 .若 ，则 的度数等于（   ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
【答案】 B
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠APO=70°，
∵ ，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
5.（2018·眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（    ）。

A. 27°                                             B. 32°                           C. 36°                                             D. 54°
【答案】A
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
又∵∠P=36°，
∴∠POA=54°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵∠POA=∠B+∠OCB=2∠B=54°，
∴∠B=27°.
故答案为:A.
【分析】根据切线的性质得∠PAO=90°，再由三角形内角和定理得∠POA=54°，根据等腰三角形性质等边对等角得∠B=∠OCB，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和建立等式，从而得出答案.
6.（2017·莱芜）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（   ）
A. 46°                                        B. 47°                                        C. 48°                                        D. 49°

【答案】 C
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO=21°，
∴∠AOD=∠B+∠BCO=21°+21°=42°，
∵AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切与点A，
∴∠OAD=90°，
∴∠ADC=90°﹣∠AOD=90°﹣42°=48°．
故答案为：C．
【分析】根据AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，得到∠OAD=90°，从而计算出∠ADC=90°﹣∠AOD=90°﹣42°=48°.
7.（2017·日照）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（   ）

A.                                         B.                                         C. 5                                        D. 
【答案】 A
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：
过点D作OD⊥AC于点D，
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAD=30°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴OD= AO=2.5，
∴AD= = ，
∴AC=2AD=5 ，
故选A．

【分析】过点D作OD⊥AC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．
8.（2019·河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P=________°.

【答案】 76
【考点】切线的性质，切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，PA⊥OA，
∴∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，
∴∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=90°-38°=52°，
∴∠P=180°-52°-52°=76°。
故答案为：76。
【分析】根据切线的性质及切线长定理得出PA=PB，PA⊥OA，根据角的和差即可算出∠PAB的度数，再根据等边对等角及三角形的内角和算出∠P的度数。
9.（2018·徐州）如图,AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若，若∠C＝18°，则∠CDA＝________.

【答案】126°
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，

∵CD为⊙O的切线，
∴∠CDO=90°，
又∵∠C＝18°，
∴∠COD=72°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A,
又∵∠COD=∠ODA+∠A,
∴∠ODA=36°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°.
故答案为：126°.
【分析】连接OD，根据切线的性质得∠CDO=90°，再由三角形内角和得∠COD=72°，根据等腰三角形和三角形外角性质可得∠ODA=36°，从而求得∠CDA度数.
10.（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是________．

【答案】70°
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD= ∠ABC= ×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为70°．
【分析】根据△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，由内心的定义，及切线的性质得出OB平分∠ABC，OD⊥BC，根据角平分线的定义及三角形的内角和即可得出答案。
11.（2017·齐齐哈尔）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为________．

【答案】 80°
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠C=90°，
∵∠A=50°，
∴∠B=40°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=40°，
∴∠COD=2×40°=80°，
故答案为80°．
【分析】根据切线的性质得出∠C=90°，再由已知得出∠ABC，由外角的性质得出∠COD的度数．
12.（2017·贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．

【答案】 3
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：连接OB，

∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM= =30°，
∴OM=OB•cos∠BOM=6× =3 ；
故答案为：3 ．
【分析】先根据圆内接正多边形性质得到∠BOM度数。再应用解直角三形进行解答即可得到结论.
13.（2017·徐州）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB=________°．

【答案】 60
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵OA⊥BC，BC=2，
∴根据垂径定理得：BD= BC=1．
在Rt△ABD中，sin∠A= = ．
∴∠A=30°．
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°．
∴∠AOB=60°．
故答案是：60．
【分析】由垂径定理易得BD=1，通过解直角三角形ABD得到∠A=30°，然后由切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠AOB的度数．
14.（2020·泰州）如图，直线a⊥b，垂足为 ，点 在直线 上， ， 为直线 上一动点，若以 为半径的 与直线 相切，则 的长为________.

【答案】 3或5
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵a⊥b
∴ 与直线 相切，OH=1
当 在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当 在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5.
【分析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解.
15.（2018·无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．

【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=1.5，
∵AC=2t，BD= t，
∴OC=8﹣2t，OD=6﹣ t，
∵点E是OC的中点，
∴CE= OC=4﹣t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴ =
∴EF= = =
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2 ，
∴（4﹣t）2= + ，
解得：t= 或t= ，
∵0≤t≤4，
∴t= ．
故答案为：
【分析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=1.5cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．
模拟预测


1.（2020·广东模拟）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝ ，则AB的长是（    ）

A. 4                                         B.                                          C. 8                                         D. 
【答案】 C
【考点】切线的性质
【解析】【解答】连接OC，可知OC⊥AC,AB=2AC,
OC=OD=2, AC= =4,
所以AB=2AC=8
故答案为：C
【分析】根据切线的性质和圆的垂弦定理可求出结果。
2.（2019·港南模拟）如图， 为 的切线， 和 是切点，延长 到点 ,使 ,连接 ,若 ，则 等于（   ）

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
【答案】 B
【考点】切线的性质，切线长定理
【解析】【解答】∵ 是切点，使 ,
∴△ABO≌△ABD，故∠DAB=∠OAB，
∵ 和 是切点，
∴∠OAB=∠OAC，
故∠DAB=   =26°，
∴ =90°-∠DAB= ，
故答案为：B
【分析】利用HL判断△ABO≌△ABD，进而可得∠DAB=∠OAB，根据切线长定理可得∠OAB=∠OAC，由已知条件可求出∠DAB，根据直角三角形的两锐角互余即可求出∠ADO.
3.（2020·硚口模拟）如图，斜边BC长为 的Rt△ABC内接于⊙O，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON=120°，△ABC的内心为E，当点A在弧MN上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（   ）

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
【答案】 B
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接BE、CE，

，E是△ABC的内心，
，
点 在以 为圆心的 为半径的圆上运动（轨迹是弧GH），在 上取一点 ，连接 、 ，则 ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，同理 ，
，
，
点 运动的路径长是 ，
故答案为： .

【分析】连接 、 ，由 ， 是内心，推出 ，推出点E在以P为圆心的 为半径的圆上运动（轨迹是弧GH），求出 ， 即可解决问题.
4.（2020·郑州模拟）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（    ）
A. 2，22.5°                              B. 3，30°                              C. 3，22.5°                              D. 2，30°

【答案】 A
【考点】切线的性质
【解析】【解答】连接OA，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，∴OD= AC=2；
∵∠DOB=45°，∴∠MND= ∠DOB=22.5°，
故答案为：A
【分析】连接OA，利用切线的性质，可证OD⊥AB，利用等腰三角形三线合一的性质，可证AO⊥BC，OD是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可以求出OD的长，然后根据等腰直角三角形的性质及三角形外角的性质，就可求出∠MND的度数。
5.（2020·河池模拟）如图， 是 的半径， 与 相切， 交 于点 .若 ，则 ________度.

【答案】 60
【考点】切线的性质
【解析】【解答】∵AB与 相切
∴∠OAB=90°
又∠BAC=30°
∴∠OAC=60°
又OC=OA
∴△OCA为等边三角形
∴∠AOC=60°
故答案为60.
【分析】利用切线的性质可证得∠OAB=90°，再证明△COA是等边三角形，利用等边三角形的性质，可求出∠AOC的度数。
6.（2020·扶风模拟）如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝________度.

【答案】 30
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：由题意知：AD是正六边形的外接圆的直径，
找到AD的中点O，连接OF，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF＝ ＝60°，
∴∠ADF＝ ∠AOF＝ ×60°＝30°.
故答案为：30.
【分析】找到AD的中点O，连接OF，由多边形是正六边形可求出∠AOF的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADF的度数.
7.（2020·沭阳模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，现利用该三角形裁剪一个最大的圆，则该圆半径是________cm.

【答案】 10
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由题意得：该三角形裁剪的最大的圆是Rt△ABC的内切圆，设AC边上的切点为D，连接OA、OB、OC，OD，

∵∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，
∴AB＝ ＝50cm，
设半径OD＝rcm，
∴S△ACB＝ ＝ ，
∴30×40＝30r+40r+50r，
∴r＝10，
则该圆半径是 10cm.
故答案为：10.
【分析】根据勾股定理求出的斜边AB，再由等面积法，即可求得内切圆的半径.
8.（2020·长兴模拟）如图，AD，AE，BC分别切☉O于点D，E，F，若△ABC的周长为24，则AD的长是（   ）

A. 24                                         B. 16                                         C. 12                                         D. 10
【答案】 C
【考点】切线长定理
【解析】【解答】解： ∵AD，AE，BC分别是圆的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF；
则△ABC的周长＝AB+BC+AC
＝AB+BF+CF+AC
＝AB+BD+AC+CE
＝AD+AE
＝2AD=24，
∴AD＝12，
故答案为：C ．

【分析】根据切线长定理分别列式，将△ABC的周长转化为AD和AE长之和，进而求解．
9.（2019·吴兴模拟）如图，∠APB＝30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP＝3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与射线PA相切时，圆心O平移的距离为________.cm．

【答案】 1
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵PC为切线，则O'C=1,PC⊥O'C,PO'=2O'C=2, ∴OO'=PO-PO'=3-2=1, 即圆心O平移的距离。

【分析】先作图，根据切线的性质定理得PC垂直O'C，由∠APB=30°，得PO'=2, 于是可求OO'的长，即是圆心O平移的距离。
10.（2020·南宁模拟）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在 上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=________。

【答案】 15
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：连接OB，

∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∠BOC=360°÷10=36°；
∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-36°=24°
∴n=360°÷24°=15.
故答案为：15.
【分析】连接OB，利用BC是⊙O的内接正十边形的一边，求出∠BOC的度数，根据AC是⊙O的内接正六边形的一边，求出∠AOC的度数，然后求出∠AOB的度数，继而可求出n的值。