考点32 圆的有关概念和性质—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

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第一步 小题夯基础


考点32圆的有关概念和性质
真题回顾



1.（2020·阜新）如图， 为⊙ 的直径，C，D是圆周上的两点，若 ，则锐角 的度数为（   ）

A. 57°                                       B. 52°                                       C. 38°                                       D. 26°
2.（2020·吉林）如图，四边形 内接于 ．若 ，则 的大小为（    ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.（2020·镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（   ）

A. 10°                                       B. 14°                                       C. 16°                                       D. 26°
4.（2020·营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（   ）

A. 110°                                    B. 130°                                    C. 140°                                    D. 160°
5.（2020·青岛）如图， 是 的直径，点A，C在 上， ， 交 于点G．若 ．则 的度数为（    ）

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
6.（2020·牡丹江）如图，四边形 内接于 ，连接 ．若 ， ，则 的度数是（    ）

A. 125°                                    B. 130°                                    C. 135°                                    D. 140°
7.（2020·十堰）如图，点 在 上， ，垂足为E.若 ， ，则 （   ）
A. 2                                         B. 4                                         C.                                          D. 

8.（2017·哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（   ）

A. 43°                                       B. 35°                                       C. 34°                                       D. 44°
9.（2020·绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（   ）

A. 45°                                       B. 60°                                       C. 75°                                       D. 90°
10.（2020·营口模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（  ）度.

A. 42                                         B. 48                                         C. 46                                         D. 50
11.（2020·安顺）如图， 是 的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边 ， 上，若 ，则 的度数是________度.

12.（2018·南通）如图， 是 的直径，点 是 上的一点，若 ， 于点 ，则 的长为________．

13.（2018·烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为________．

13.（2019·台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为________.

14.（2020·鹤岗）如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 ________°．

15.（2017·盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在 上，点D在 上，若∠ACB=70°，则∠ADB=________°．

模拟预测


1.（2020·仙居模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（    ）

A. ∠A=∠D                         B. CB=BD                         C. ∠ACB=90°                         D. ∠COB=3∠D
2.（2020·萧山模拟）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（   ）

A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 2
3.（2020·柳州模拟）如图，点A，B，C，D在 上， ∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ACB=（   ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
4.（2020·凤县模拟）已知AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧 上的点，则 的度数为（   ）
A.                                     B.                                     C.                                     D. 

5.（2020·乐清模拟）如图， 是 上的四点，点B为 的中点， 过点 ，那么 ________度.

6.（2020·金华模拟）如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC=6，OA= ，则⊙O的半径为________。

7.（2019·抚顺模拟）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，点 是 的中点，点 是 上的一点，若 ，则 ________.

8.（2019·会宁模拟）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，半径为 ，则CD的长为________.

9.（2020·鞍山模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD.AB= ，ON=1，则⊙O的半径长为________.

第一步 小题夯基础


考点32圆的有关概念和性质
真题回顾



1.（2020·阜新）如图， 为⊙ 的直径，C，D是圆周上的两点，若 ，则锐角 的度数为（   ）

A. 57°                                       B. 52°                                       C. 38°                                       D. 26°
【答案】 B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，

为 的直径，
 

 
 
故答案为：B.
【分析】连接 ，由直径所对的圆周角是直角，求解 ，利用同圆中同弧所对的圆周角相等可得答案.
2.（2020·吉林）如图，四边形 内接于 ．若 ，则 的大小为（    ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
【答案】 C
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】因为，四边形 内接于 ，
所以， =180°-
故答案为：C
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得 的度数．
3.（2020·镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（   ）

A. 10°                                       B. 14°                                       C. 16°                                       D. 26°
【答案】 C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图，

∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°.
故答案为：C.
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数.
4.（2020·营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（   ）

A. 110°                                    B. 130°                                    C. 140°                                    D. 160°
【答案】 B
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的内角和定理得∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的对角互补求∠ADC的度数.
5.（2020·青岛）如图， 是 的直径，点A，C在 上， ， 交 于点G．若 ．则 的度数为（    ）

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
【答案】 B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 是 的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故答案为：B．
【分析】先根据圆周角定理得到∠ ，再根据等弧所对的弦相等，得到 ，∠ ，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD= ，∠BAG= ，即可求解．
6.（2020·牡丹江）如图，四边形 内接于 ，连接 ．若 ， ，则 的度数是（    ）

A. 125°                                    B. 130°                                    C. 135°                                    D. 140°
【答案】 B
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，

∵ ，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵ ，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC= ∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据 得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果.
7.（2020·十堰）如图，点 在 上， ，垂足为E.若 ， ，则 （   ）

A. 2                                         B. 4                                         C.                                          D. 
【答案】 D
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，

∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，垂足为E，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】连接OC，根据圆周角定理求得 ，在 中可得 ，可得OC的长度，故CE长度可求得，即可求解.
8.（2017·哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（   ）

A. 43°                                       B. 35°                                       C. 34°                                       D. 44°
【答案】 B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠D=∠A=42°，
∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，
故选B．
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．
9.（2020·绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（   ）

A. 45°                                       B. 60°                                       C. 75°                                       D. 90°
【答案】 D
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，

， ，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。
10.（2020·营口模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（  ）度.

A. 42                                         B. 48                                         C. 46                                         D. 50
【答案】 A
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=∠ADC=48°，
∴∠ACB=90°-∠B=42°；
故答案为：A.
【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC=90°，∠B=∠ADC=48°，再由直角三角形的性质即可得出答案.
11.（2020·安顺）如图， 是 的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边 ， 上，若 ，则 的度数是________度.

【答案】 120
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：

因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH △OAM（HL）.
∴∠OAH=∠OAM.
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA △OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB.
又∵∠C=60°以及同弧 ，
∴∠AOB=∠DOE=120°.
故答案为：120.
【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题.
12.（2018·南通）如图， 是 的直径，点 是 上的一点，若 ， 于点 ，则 的长为________．

【答案】2
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径∴∠C=90°
∴
∵OD⊥BC
∴点D是BC的中点，点O时AB的中点
∴OD是△ABC的中位线
∴
故答案为：2
【分析】根据圆周角定理及勾股定理，可证得∠C=90°，可求出AC的长，再根据垂径定理，可证得点D是BC的中点，然后证明OD是△ABC的中位线，从而可求出OD的长。
13.（2018·烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为________．

【答案】（-1，-2）
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接CB，AB，作CB，AB的垂直平分线，其交点就是过A，B，C三点的圆的圆心，如图所示：

所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
【分析】连接CB，AB，作CB，AB的垂直平分线，其交点就是过A，B，C三点的圆的圆心，如图所示：利用方格纸的特点即可读出D点的坐标。
13.（2019·台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为________.

【答案】 52°
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°,
∴∠ADC=116°，
又∵点D关于AC对称的点E在BC上，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=116°-64°=52°.
故答案为：52°.
【分析】由圆内接四边形性质及对称性质得∠AEC=∠ADC=116°，再由三角形外角性质即可求得∠BAE度数.
14.（2020·鹤岗）如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 ________°．

【答案】 50
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ 是 的外接圆 的直径，
∴点 ， ， ， 在 上，
∵ ，
∴ ，
故答案为：50．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
15.（2017·盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在 上，点D在 上，若∠ACB=70°，则∠ADB=________°．

【答案】 110
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点C在 上，点D在 上，若∠ACB=70°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=110°，
故答案为：110．
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
模拟预测


1.（2020·仙居模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（    ）

A. ∠A=∠D                         B. CB=BD                         C. ∠ACB=90°                         D. ∠COB=3∠D
【答案】 D
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：A、∵
∴∠A=∠D，故A不符合题意；
B、∵AB是直径，CD⊥AB，
∴ ，
∴BC=BD，故B不符合题意；
C、∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，故C不符合题意；
D、∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∵∠COB=∠A+∠ACO=2∠A=2∠D，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用同弧所对的圆周角相等，可对A作出判断；利用垂径定理及圆周角定理可对B，作出判断；再利用等腰三角形的性质及三角形外角性质，可对D作出判断。
2.（2020·萧山模拟）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（   ）

A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 2
【答案】 C
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴OD＝ OB＝1，
故答案为：C.
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求OD.
3.（2020·柳州模拟）如图，点A，B，C，D在 上， ∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ACB=（   ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
【答案】 C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠ACD=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ADB=∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-50°-30°-30°=70°.
故答案为：C.
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC，进而得出答案.
4.（2020·凤县模拟）已知AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧 上的点，则 的度数为（   ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 

【答案】 C
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，设点E是优弧 上的点，OC与AB交于点D.
是OC的垂直平分线，
.
， .
同理 ，故 .
.
.
故答案为：C.
【分析】如图，连接OA、OB，设点E是优弧 上的点，OC与AB交于点D，由AB是半径OC的垂直平分线可推出 ，再根据圆周角定理可得∠E的度数，然后利用圆内接四边形的性质即可求出结果.
5.（2020·乐清模拟）如图， 是 上的四点，点B为 的中点， 过点 ，那么 ________度.

【答案】 25
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC=100° ，且点B为 的中点，
∴∠AOB=∠BOC=50°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OCD=50 ° ，
∴∠OCD=25° ，
故答案为：25.
【分析】根据点B为 的中点，求得∠BOC=50° ，再利用三角形外角的性质即可求解.
6.（2020·金华模拟）如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC=6，OA= ，则⊙O的半径为________。

【答案】
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接OB，

∵BC是⊙O的弦，BC=6，
∴OD垂直平分BC，
∴BD=CD=3，
∵AB=AC，
∴点A、O、D在同一条直线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AD=BD=.
∵OA= ，
∴OD=AD-OA= ，
在Rt△OBD中，OB==.
故答案为：.
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理得OD垂直平分BC，再根据AB=AC，得出点A、O、D在同一条直线上，进而求出AD和OD的长，在Rt△OBD中，根据勾股定理得出OB即⊙O的半径的长.
7.（2019·抚顺模拟）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，点 是 的中点，点 是 上的一点，若 ，则 ________.

【答案】
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵∠ CED=35°，点 是 的中点，
∴∠ABC=70°，
∴∠ADC=110°，故答案为110°
【分析】点 是 的中点，所以∠ABC=2∠ CED，在通过圆内接四边形对角互补求出即可
8.（2019·会宁模拟）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，半径为 ，则CD的长为________.

【答案】 2
【考点】垂径定理
【解析】【解答】∵OC＝OA，∠A＝22.5°，
∴∠A＝∠OCA＝22.5°，
∵∠BOC＝∠A+∠OCA＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，
∴△CEO是等腰直角三角形，
∵CO＝ ，
∴CE＝ ＝1，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CE＝2，
故答案为：2.
【分析】由同圆的半径相等得∠A=∠OCA=22.5°，根据外角性质求∠BOC=45°，得到△CEO是等腰直角三角形，由OC= 求CE的长，最后由垂径定理得出结论.
9.（2020·鞍山模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD.AB= ，ON=1，则⊙O的半径长为________.

【答案】 3
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，
∴∠BCD=∠BAM，
∴∠BAM=BAD，
在△ANE与△ADE中，
，
∴△ANE≌△ADE，
∴NE=ED，
∵AB= ，AE⊥CD，
∴AE= AB = ，
又∵ON=1，
∴设NE= ，则OE= ，NE=ED= ， ，
连结AO，

∴AO=OD= ，
∵△AOE是直角三角形，AE= ，，OE= ，AO= ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
解得： (舍去)，
∴ .
故答案为：3.
【分析】先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，得到NE=ED，根据垂径定理求出AE的长，设NE= ，则OE= ，NE=ED= ，r=OD=OE+ED= ，连结AO，则AO=OD= ，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出 的值，进而得出结论.