高中人教A版 (2019)第五章 三角函数本章综合与测试巩固练习

      专题5.9  三角函数章末测试（培优卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．（2019·广东省高一月考）角弧度，则所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】角弧度，，∴α在第三象限，故选:C.

2．（2020·北京高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(    )

A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米

【答案】B

【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为Slr45270（平方米）.故选：B.

3．（2020·辽宁省沈阳铁路实验中学高一期中）如果角的终边过点，那么等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，它与原点的距离为2，∴.故选：C.

4．（2020·湖南省高一月考）设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】以为圆心作单位圆，与轴正半轴交于点，作交单位圆第一象限于点，做轴，作轴交的延长线于点，如下图所示：

由三角函数线的定义知，，，，因为，

∴∴故选：C

5．（2019·陕西省高三月考（理））定义运算：，将函数的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.

6．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，，

联立方程组，可得，

又由.故选：B.

7．（2020·四川省高三三模（理））设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，求函数的对称轴，令，

解得函数，

令，解得，

因为函数与函数的对称轴完全相同，所以，故选：C.

8．（2019·云南省东川明月中学高一期中）函数，若对于任意的有恒成立，则实数的取值范围是（ ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，，

最小值

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知，则下列式子成立的是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】CD

【解析】∵，，

整理得，

∴，

即，

即，∴C、D正确.故选：CD

10．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列命题中，真命题的是（    ）

A．的图象与的图象关于轴对称

B．的图象与的图象相同

C．的图象与的图象关于轴对称

D．的图象与的图象相同

【答案】BD

【解析】对于A，是偶函数，而为奇函数，故与的图象不关于轴对称，故A错误；

对于B，，即其图象相同，故B正确；

对于C，当时，，即两图象相同，故C错误；

对于D，，故这两个函数图象相同，故D正确，故选BD.

11．（2020·全国高一课时练习）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】∵，∴，若，则.

A中，，故A符合条件；

B中，，故B不符合条件；

C中，，即，

又，所以，故C符合条件；

D中，，即，

又，所以，故D不符合条件.故选：AC.

12．（2020·山东省高一期末）对于函数，下列四个结论正确的是（    ）

A．是以为周期的函数

B．当且仅当时，取得最小值-1

C．图象的对称轴为直线

D．当且仅当时，

【答案】CD

【解析】函数的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，

可得当，时，，

当，时，，

可得的对称轴方程为，，

当或，时，取得最小值；

当且仅当时，，

的最大值为，可得，综上可得，正确的有．故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2020·上海高一课时练习）函数的值域是_________.

【答案】

【解析】根据题意知：，，

当在第一象限时，；

当在第二象限时，；

当在第三象限时，；

当在第四象限时，；

综上所述：值域为.

14．（2020·上海高一课时练习）若函数的最小值为1，则实数__________.

【答案】5

【解析】，其中，且终边过点．所以，解得．

15．（2020·江苏省高三其他）已知函数（），且（），则______.

【答案】

【解析】解法一：∵函数（），.

，（），

不妨假设，则，，

，

，，.

再根据

，

，或，则（舍去）或，

解法二：∵函数（），.

（），

则由正弦函数的图象的对称性可得：，即，

16．（2020·浙江省高三二模）已知函数的图像关于点对称，关于直线对称，最小正周期，则______，的单调递减区间是______.

【答案】       

【解析】由于的最小正周期，，所以.

由于图像关于点对称，关于直线对称，

所以，

两式相加得，

由于，，所以.

则，结合可得，

所以.

所以的最小正周期为.

由，解得，所以的减区间为.

故答案为：（1）；（2）

五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考（理））已知. 

(1)求的值      

(2)求的值.

【解析】（1）∵.

∴，即

，

（2）由（1）知＜0，又   

∴

∴

18．（2019·瓦房店市实验高级中学高一月考）函数的一段图象如图所示

（1）求的解析式；

（2）求的单调增区间，并指出的最大值及取到最大值时的集合；

（3）把的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．

【解析】（1）由函数的图象可得，解得．

再根据五点法作图可得，由，则令

（2）令，求得，故函数的增区间

为[

函数的最大值为3，此时，，即，即的最大值为3，及取到最大值时的集合为.

（3）设把的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．

则由，求得，

把函数的图象向左平移个单位，

可得的图象．

19．（2020·北京高三二模）已知函数，               ，求在的值域.

从①若的最小值为；②两条相邻对称轴之间的距离为；③若的最小值为，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

【解析】由于

.

所以①②③都可以得到的半周期为，则.

所以.由于，，

所以，即的值域为.

20．（2020·广东省高一月考）已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）若，求的值.

【解析】（1）

，

∴.

（2）∵，，，

∴.

21．（2020·安徽省六安一中高一期末（理））已知函数，其中.

（1）求使得的的取值范围；

（2）若函数，且对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值.

【解析】（1）由题意得，

令，得

即，故的取值范围为

（2）由题意得，

令

即故在区间上为增函数

由，得出，，

则函数包含原点的单调递增区间为即

故正实数的最大值为.

22．（2019·江苏省高二期末（文））某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．

（1）设，将展板所需总费用表示成的函数；

（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？

【解析】（1）过点O作，垂足为H，则，，

正方形ABCD的中心在展板圆心，铜条长为相等，每根铜条长，

，展板所需总费用为．

（2）

，当时等号成立.

上述设计方案是不会超出班级预算．