2021年高中数学培优练习《空间几何体》专项复习（含答案）

这是一份2021年高中数学培优练习《空间几何体》专项复习（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高中数学《空间几何体》专项复习一、选择题1.长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 中,AB=AA1 =2,AD =1,E为 CC1的中点，则异面直线BC1 与AE所成角的余弦值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.       B.         C.       D.2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（     ）3.如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,△ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.现有以下命题: ①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中真命题的个数为(　　)A.0              B.1            C.2              D.34.如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC.其中恒成立的为（　　）A.①③     B.③④      C.①②      D.②③④5.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（　　）A.[1，]   B.[，]   C.[，]   D.[，]6.如图，正方形SG1G2G3中 ，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有(　　).A.①②      B.①③      C.②③      D.③④7.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)A.BC∥平面PDF           B.DF⊥平面PAE  C.平面PDF⊥平面ABC     D.平面PAE⊥平面ABC8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(　　)A.AG⊥平面EFG    B.AH⊥平面EFG     C.GF⊥平面AEF    D.GH⊥平面AEF9.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为(    )

A.           B.              C.           D.10.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(　　)A.            B．          C.          D．[，]二、填空题11.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，则BD与平面PAC的位置关系是________； 若二面角A­PC­D的大小为60°，则AP的值为________.12.如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示，则直线AB与平面DEF的位置关系是________，四面体A­DBC的外接球体积与四棱锥D­ABFE的体积之比为________.13.如图，四面体P­ABC中，PA=PB=，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，AC=8，BC=6，则PC=________，PC与平面ABC所成角的余弦值为________.14.如图，在棱长为1的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 和 N 分别是 A 1 B 1 和 BB 1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为________．
15.如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有_________①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值;   ②DC1⊥D1M③∠AMD1的最大值为90°;        ④AM+MD1的最小值为2．16.17.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是_______.三、解答题18.如图，在直三棱柱中，在棱上.（1）若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（2）若E为AB上的一动点，当三棱锥E-BB1C的体积为，求AE长度.19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中点.(1)证明：AC1//平面B1CD；(2)若∠ACB=90°，AA1=BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.20.如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点.现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.（1）求证：EF平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积.21.如图所示，四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．22.如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A­BE­P的大小.23.如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点.(1)求证：DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PB；(3)若PC=BC，求二面角P­AB­C的大小.
0.参考答案1.B 2.A【解析】由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.故A不满足，选A.3.D解析:易证BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC;OM∥PA,易证OM∥平面APC;因为BC⊥平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长;故①②③都正确.4.A解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN.对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.故正确.对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确.对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直.即不正确.故选：A.5.B 6.答案:B;解析:由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE=.S矛盾，排除A，故选B.7.【答案】C；【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面PAE成立，平面PAE⊥平面ABC也成立.8.【答案】A;【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE=G，∴AG⊥平面EFG.9.答案：D10.答案为：B.解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面AMN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1M=A1N==，MN==，所以当点P位于M，N处时，A1P的长度最长，当P位于MN的中点O时，A1P的长度最短，此时A1O==，所以A1O≤A1P≤A1M，即≤A1P≤，所以线段A1P长度的取值范围是，选B.二 、填空题11.答案为：垂直，；12.答案为：平行，；13.答案为：7，；14.答案为：0.4;   15.答案为：①②;  16.17.答案为：6;解析：由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.∵EF∥PA，PA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC,∴EF⊥BE,EF⊥EC,∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形.18.解：（1）在面中，因为为中点，设，可得，又由，所以，所以，因为平面，且平面，所以，又由，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面（2）如图所示，过作于点，则，因为，所以又因为，且，所以平面，即平面，所以，解得，由，所以为的中点，所以.19.解：(1)如图，设BC1与B1C相较于点E，连接DE，

由题意可得，D、E分别为AB、BC1的中点，
所以DE是△ABC1的中位线，
所以DE//AC1，
因为，，
所以AC1//平面B1CD；
(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，CC1//AA1，
所以CC1⊥底面A1B1C1，
所以CC1⊥A1C1，
因为∠ACB=90°，即∠A1C1B1=90°，所以A1C1⊥B1C1，
又，所以，
所以A1C1⊥B1C，
因为AA1=BC，AA1=CC1，
所以CC1=BC，
在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥B1C1，
所以四边形BCC1B1是正方形，
所以BC1⊥B1C，
因为，
所以，
因为，
所以平面A1C1B⊥平面B1CD.20.（1）证明：如图，取线段AC的中点M，连结MF，MB.因为F，M为AD，AC的中点，所以MFCD，且2MF=CD.在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BE∥CD，且BE=0.5CD.所以MFBE，且MF=BE.所以四边形BEFM为平行四边形，故EFBM.又EF平面ABC，BM平面ABC，所以EF平面ABC.（2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD2，AB=4，E为AB的中点，所以ADE，CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2.所以∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2.又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB=180°，所以∠DEC=90°，即DE⊥CE.又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，CE平面BCDE，所以CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥CEFD的高.因为F为AD的中点，所以所以四面体FDCE的体积21.解：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG.因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，所以EF∥AB，所以AB∥平面EFGH.同理，可证CD∥平面EFGH.(2)设EF=x(0＜x＜4)，由(1)知，=.则===1－.从而FG=6－x，所以四边形EFGH的周长l=2=12－x.又0＜x＜4，则有8＜l＜12.即四边形EFGH的周长的取值范围是(8,12)．22.证明：(1)如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°，知△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A­BE­P的平面角.在Rt△PAB中，tan∠PBA==，则∠PBA=60°.故二面角A­BE­P的大小是60°.23.证明：(1)因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC，所以DE∥平面PAC.(2)因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC，PC∩BC=C，所以AB⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以AB⊥PB.(3)解：由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC即为二面角P­AB­C的平面角，因为PC=BC，∠PCB=90°，所以∠PBC=45°，所以二面角P­AB­C的大小为45°.