2021年高中数学培优练习《三角函数-最值问题》专项复习（含答案）

这是一份2021年高中数学培优练习《三角函数-最值问题》专项复习（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为( )
A.－1 B.－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),2) D.0
下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）．
A. B. C. D.
已知y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x=时有最大值, x = 时有最小值－ ,则函数的解析式为（ ）
A．y=2sin() B．y=sin(3x+ )
C．y=sin (3x— ) D．y= sin(3x－ )
函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D．6
已知函数f(x)=2 sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x=时，f(x)取得最大值，则( )
A.f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B.f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C.f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
设函数的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( ).
A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递减
C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在上单调递增
如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
已知函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－cs 2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；
②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=eq \f(2π,3)；
③函数f(x)图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))；
④函数f(x)的递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kx＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.则正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
已知函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
已知函数f(x)=4cs(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a-b|的最小值是1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))=( )
A．2 B．-2 C.eq \f(\r(3),2) D．-eq \f(\r(3),2)
将函数f(x)=sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，所得图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))，则ω的最小值是( )
A.eq \f(1,3) B．1 C.eq \f(5,3) D．2
给出函数f(x)=2sinxcsx+2cs2x-1，点A，B是其一条对称轴上距离为的两点，函数f(x)的图象关于点C对称，则△ABC的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号）＿＿＿＿。
①函数y＝－sin(kπ＋x)(k∈Z)的奇函数；
②函数y＝sin(2x＋)关于点( ,0)对称；
③函数y＝2sin(2x＋)＋sin(2x－)的最小正周期是π；
④△ABC中，csA＞csB的充要条件是A＜B；
⑤函数＝cs2x＋sinx的最小值是－1
关于函数f(x)=4sin(2x+) (x∈R)，有下列命题：
（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cs(2x-);
（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；
（3）y=f(x ) 的图象关于点(-,0)对称;
（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-对称;
其中正确的命题序号是___________.
设函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)．若f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
已知函数f(x)=eq \r(3)sinωx＋csωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为eq \f(π,3)，则f(x)的最小正周期为 .
三、解答题
函数的最小值为
（1）求（2）若，求及此时的最大值
已知函数f(x)=4cs xsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
函数f(x)=3sin(kx+)+1(k>0)的最小正周期为T，且T∈(1,3)
(1)求实数k的范围；
(2)若k∈N+，当k取最小值时，①求函数f(x)的最大值及相应的x的取值集合；②求函数f(x)的对称中心．
已知函数，x∈[].
(1)求f(x)的最大值和最小值；
(2)若不等式f(x)－m<2在x∈[]上恒成立，求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=sin2 x－cs2 x－2eq \r(3)sin xcs x(x∈R)．
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
设函数f(x)=sinω(x－eq \f(π,6))＋sinω(x－eq \f(π,2))，其中0<ω<3．已知f(eq \f(π,6))=0．
(1)求ω；
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[－eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)]上的最小值．
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0)，求θ的最小值.
\s 0 参考答案
B.
解析：确定出2x－eq \f(π,4)的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值.
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴－eq \f(π,4)≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，
答案为：D；

B
Ｂ
答案为：A
答案：A
答案为：A
答案为：C.
解析：f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－cs 2x=cs 2xcs eq \f(π,3)－sin 2xsin eq \f(π,3)－cs 2x=－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
不是奇函数，故①错误；当x=eq \f(2π,3)时feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))=－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))=1，故②正确；
当x=eq \f(5π,12)时feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))=－sin π=0，故③正确；
令2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，故④正确．
综上，正确的结论个数为3.
答案为：B；
函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))的周期T=6，当x=0时，y=eq \f(1,2)，当x=1时，y=1，
所以函数y=sineq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \f(π,3)x＋eq \f(π,6)eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))在[0，t]上至少取得2次最大值，有t-1≥T，即t≥7，
所以正整数t的最小值为7.故选B.
答案为：B；
因为函数f(x)=4cs(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cs φ=0(0<φ<π)，
所以φ=eq \f(π,2)，所以f(x)=-4sin ωx，又A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，且|a-b|的最小值是1，
所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω=π，所以f(x)=-4sin πx，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))=-4sin eq \f(π,6)=-2，故选B.
答案为：D.
解析：函数f(x)=sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度得到函数
f(x)=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))(其中ω＞0)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))代入得sin eq \f(ωπ,2)=0，
所以eq \f(ωπ,2)=kπ(k∈Z)，故得ω的最小值是2.
B；
解析：本题抓住一个主要结论——函数的最小正周期为，则点到直线距离
的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选.
①③④⑤
答案为：(1)(3)；
答案为：eq \f(2,3)；
解析：∵f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意x∈R恒成立，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))为f(x)的最大值，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)ω－\f(π,6)))=1，∴eq \f(π,4)ω－eq \f(π,6)=2kπ，解得ω=8k＋eq \f(2,3)，k∈Z，
又∵ω>0，∴当k=0时，ω的最小值为eq \f(2,3).
答案为：π.
解析：f(x)=eq \r(3)sinωx＋csωx=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0).
由2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))=1，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))=eq \f(1,2)，
∴ωx＋eq \f(π,6)=2kπ＋eq \f(π,6)或ωx＋eq \f(π,6)=2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z).
令k=0，得ωx1＋eq \f(π,6)=eq \f(π,6)，ωx2＋eq \f(π,6)=eq \f(5π,6)，∴x1=0，x2=eq \f(2π,3ω).
由|x1－x2|=eq \f(π,3)，得eq \f(2π,3ω)=eq \f(π,3)，∴ω=2.故f(x)的最小正周期T=eq \f(2π,2)=π.

(1)函数的最小值为
，
，
，，＝

(2)



【解析】(1)因为∈(1,3)， 所以(2)k∈N+，所以k的最小值为3，∴f(x)=3sin(3x+ )+1，
①当，n∈Z,即{x|,n∈Z}时，f(x)取最大值4.
②令3x+=nπ,n∈Z，,n∈Z，即函数f(x)的对称中心是(,1),n∈Z
解析：
解：
(1)由sin eq \f(2π,3)=eq \f(\r(3),2)，cs eq \f(2π,3)=－eq \f(1,2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))=2.
(2)由cs 2x=cs2 x－sin2 x与sin 2x=2sin xcs x得
f(x)=－cs 2x－eq \r(3)sin 2x=－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z)．
解:
(1)因为f(x)=sinωx－eq \f(π,6)＋sinωx－eq \f(π,2)，
所以f(x)=eq \f(\r(3),2)sinωx－eq \f(1,2)csωx－csωx
=eq \f(\r(3),2)sinωx－eq \f(3,2)csωx=eq \r(3)eq \f(1,2)sinωx－eq \f(\r(3),2)csωx
=eq \r(3)sinωx－eq \f(π,3)．
由题设知feq \f(π,6)=0，所以eq \f(ωπ,6)－eq \f(π,3)=kπ，k∈Z．
故ω=6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω=2．
(2)由(1)得f(x)=eq \r(3)sin2x－eq \f(π,3)，
所以g(x)=eq \r(3)sinx＋eq \f(π,4)－eq \f(π,3)=eq \r(3)sinx－eq \f(π,12)．
因为x∈－eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)，所以x－eq \f(π,12)∈－eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)，
当x－eq \f(π,12)=－eq \f(π,3)，即x=－eq \f(π,4)时，g(x)取得最小值－eq \f(3,2)．