2021年陕西省西安市碑林区中考数学五模试卷

这是一份2021年陕西省西安市碑林区中考数学五模试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省西安市碑林区中考数学五模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（3分）陕西省创建“国家级森林城市”以来，为改善生态环境，多地实行退耕还林、防沙治沙，为此小华制作了一个正方体，其展开图如图所示，原正方体中与“态”字相对面上的汉字是（　　）

A．改 B．善 C．环 D．境
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．＝﹣2
C．（﹣3m2）3＝27m6 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
4．（3分）如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，OC＝OE，∠A＝50°，则∠C的大小为（　　）

A．10° B．15° C．25° D．30°
5．（3分）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（　　）
A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BP平分∠ABC，BP＝CP＝2，则AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．4 D．4
7．（3分）在同一坐标系中，若直线y＝﹣x+b与直线y＝kx﹣4的交点在第一象限，则下列关于k、b的判断正确的是（　　）
A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＞0，b＞0
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，过点A、C分别作相距为3的平行线段AE、CF，分别交CD、AB于点E、F，则tan∠DAE的值是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（　　）

A．6π B．4π C．3π D．4π
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第三象限，设n＝a﹣b+c，则n的取值范围是（　　）

A．﹣3＜n＜﹣1 B．﹣3＜n＜0 C．﹣6＜n＜﹣3 D．﹣6＜n＜0
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：﹣3　 　﹣2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（3分）已知正六边形的周长为12，则这个正六边形的边心距是　 　．
13．（3分）如图，反比例函数y＝的图象上有A、B两点，过点B作BD⊥y轴于点D，交
OA于点C．若AC＝2OC，△BOC的面积为2，则k的值为　 　．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，∠C＝60°，连接BD，BD⊥AB且BD＝CD，求四边形ABCD面积的最大值．小明过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，连接DH，则∠AHD的正弦值为　 　，据此可得四边形ABCD的面积最大值为　 　．

三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：﹣（π﹣3.14）0．
16．（5分）化简：[（3x﹣y）（3x+y）﹣2xy﹣2（2x+y）（2x﹣y）]÷（x﹣y）．
17．（5分）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，连接BD，∠A＝∠E，AC＝ED．求证：∠CBD＝∠CDB．

19．（7分）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，一分钟跳绳次数记作x，共分为四个等级，60≤x＜80记为不合格，80≤x＜100记为合格，100≤x＜120记为良好，120≤x＜140记为优秀，并根据调查统计结果绘制了统计图：

请结合上述信息完成下列问题：
（1）请补全频数分布直方图，扇形统计图中“良好”等级对应的圆心角的度数是　 　；
（2）该组数据的中位数落在　 　（填等级）；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数的平均数．
20．（7分）建筑工地的塔吊示意如图，爱钻研和思考问题的小亮和小颖来到塔吊前，测量塔吊的高度．小亮拿出自制的直角三角形ABC，将Rt△ABC的直角边AC平行于地面，眼睛通过斜边AB观察，一边观察一边走动，使得A、B、M共线，已知AB＝0.5m，BC＝0.3m，此时，小颖测量小亮距塔吊的距离DN＝40米，AD＝1米．随后，小颖站在另一侧的点E处，观察塔吊的项部M的仰角是60°，经过测量EF＝1.5米，那么根据以上数据你能求出小颖与塔吊的距离NE的长度吗？（结果保留根号）

21．（7分）九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为　 　；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．

22．（8分）小明在学习过程中遇到了一个函数y＝+1，小明根据学习反比例函数y＝的经验，对函数y＝+1的图象和性质进行了探究．
（1）画函数图象：[问题1]函数y＝+1的自变量x的取值范围是　 　；
①列表：如表．
x
…
﹣6
﹣2
1
0


3
4
6
10
…
y
…

0
﹣3
﹣1
﹣7
9
5
3
2

…
②描点：点已描出，如图所示．

③连线：[问题2]请你根据描出的点，西出该函数的图象．
（2）探究性质：根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象，回答下列问题：
[问题3]①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是　 　；
[问题4]②该函数图象可以看成是由y＝的图象平移得到的，其平移方式为　 　；
[问题5]③结合函数图象，请直接写出+1≥﹣1时x的取值范围　 　．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．

24．（9分）在平面直角坐标系中，经过点（1，﹣10），（2，﹣12）的抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线确定一点P，使∠ACP＝90°，求点P的坐标；
（3）是否在x轴上存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．过点C作直线l，再分别过点A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则线段MN、AM、BN之间的数量关系为　 　；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，点P在AB上，点E、F分别是边AC、BC上，且∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．设BP＝x，求四边形CEPF的面积y与x之间的函数关系式；
（3）如图③是一个圆形广场，其中四边形ACBD规划为园林绿化区（四个顶点均在圆上），且要求∠ACB＝90°，AC＝30米，BC＝40米，连接AB、CD交于点P．为了更好的美化环境，需要在AC、BC边上分别确定点E、F，且满足∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．为了整体布局，计划在四边形CEPF内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪．已知花卉每平方米的价格是60元，草坪每平方米的价格是90元，从实用角度希望四边形CEPF的面积最大．根据设计要求，求出当四边形CEPF的面积最大时种植花卉和草坪的总费用．


2021年陕西省西安市碑林区中考数学五模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】根据数轴上点的特点即可找到表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数．
【解答】解：由数轴可知：

把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是﹣1．
故A、C、D错误，
故选：B．
2．（3分）陕西省创建“国家级森林城市”以来，为改善生态环境，多地实行退耕还林、防沙治沙，为此小华制作了一个正方体，其展开图如图所示，原正方体中与“态”字相对面上的汉字是（　　）

A．改 B．善 C．环 D．境
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“改”与“态”是对面，
“善”与“环”是对面，
“生”与“境”是对面，
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．＝﹣2
C．（﹣3m2）3＝27m6 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2，不符合题意；
B、原式＝﹣2，符合题意；
C、原式＝﹣27m6，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2a+1，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，OC＝OE，∠A＝50°，则∠C的大小为（　　）

A．10° B．15° C．25° D．30°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，然后根据平行线的性质可得∠DOE的度数，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠E，
∴∠C＝∠DOE＝25°，
故选：C．

5．（3分）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（　　）
A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D．
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，再根据正比例函数图象上点的坐标可得6＝km，n＝5k，再利用含m、n的式子表示k，进而可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，
∵图象经过A（m，6），B（5，n）两点，
∴6＝km，n＝5k，
∴k＝，k＝，
∴＝，
∴mn＝30，
故选：C．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BP平分∠ABC，BP＝CP＝2，则AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．4 D．4
【分析】由等腰三角形的性质得BD＝CD，再由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，PD＝PB＝1，BD＝PD＝，则BC＝2BD＝2，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥BC于D，如图：
∵BP＝CP，
∴BD＝CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝30°，
∵PD⊥BC，
∴PD＝PB＝1，BD＝PD＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故选：A．

7．（3分）在同一坐标系中，若直线y＝﹣x+b与直线y＝kx﹣4的交点在第一象限，则下列关于k、b的判断正确的是（　　）
A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＞0，b＞0
【分析】利用一次函数平移的性质得出b＞0，再根据交点在第一象限确定k＞0．
【解答】解：此题可通过观察图象求解，如图所示，

（1）y＝﹣x只有向上平移时，图象才会经过第一象限，即b＞0；
（2）y＝kx﹣4（k≠0），
①k＜0时，图象不经过第一象限，不合题意，
②k＞0时，图象经过第一象限，和y＝﹣x+b的交点在第一象限，符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，过点A、C分别作相距为3的平行线段AE、CF，分别交CD、AB于点E、F，则tan∠DAE的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点F作FH⊥AE于H，则FH＝4，由AAS证得△ADE≌△FAH，得出AF＝AE，证四边形AECF是菱形，设DE＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可求出DE＝，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：过点F作FH⊥AE于H，如图所示：
则FH＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAH＝∠AED，
∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝3，FH＝3，
∴AD＝FH，
在△ADE和△FAH中，
，
∴△ADE≌△FAH（AAS），
∴AF＝AE，
∵AE∥CF，AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF＝AE，
∴四边形AECF是菱形，
设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝4﹣x，
在Rt△BCF中，（4﹣x）2＝x2+32，
∴x＝，
∴DE＝，
∴tan∠DAE＝．
故选：C．

9．（3分）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（　　）

A．6π B．4π C．3π D．4π
【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出＝，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，AO，DO，

∵⊙O的弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝3，
∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，
故选：A．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第三象限，设n＝a﹣b+c，则n的取值范围是（　　）

A．﹣3＜n＜﹣1 B．﹣3＜n＜0 C．﹣6＜n＜﹣3 D．﹣6＜n＜0
【分析】先根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）和（1，0），可以求出a、b、c之间的等量关系，再根据顶点在第三象限，可以求出a与b的关系．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，﹣3），
∴c＝﹣3，a+b+c＝0，
即b＝3﹣a，
∵顶点在第三象限，
∴﹣＜0，＜0，
又∵a＞0，
∴b＞0，
∴b＝3﹣a＞0，即a＜3，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c
∴b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0
∵a+b+c＝0，
∴a﹣b+c＝﹣2b＜0，
∴a﹣b+c＝﹣2b＝2a﹣6，
∵0＜a＜3，
∴n＝a﹣b+c＝﹣2b＝2a﹣6＞﹣6，
∴﹣6＜n＜0．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：﹣3　＜　﹣2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】根据它们的平方的大小关系来确定它们的大小关系．
【解答】解：∵（﹣3）2＝9，，9＞8，
∴．
故答案为：＜．
12．（3分）已知正六边形的周长为12，则这个正六边形的边心距是　　．
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OA＝AB＝2，∠AOG＝30°，
∴OG＝OA•cos 30°＝2×＝．
故答案为：．

13．（3分）如图，反比例函数y＝的图象上有A、B两点，过点B作BD⊥y轴于点D，交
OA于点C．若AC＝2OC，△BOC的面积为2，则k的值为　﹣　．

【分析】作AM⊥x轴于M，AE⊥y轴于E，BN⊥x轴于N，设A（m，n），由平行线分线段定理得到，得到BN＝OD＝，CD＝m，则B（3m，n），由AC＝2OC，△BOC的面积为2，得到△AOB的面积为6，根据△AOB的面积＝梯形ABNM的面积得到×（n+n）（m﹣3m）＝6，即可求得mn＝﹣，进而即可求得k的值．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，AE⊥y轴于E，BN⊥x轴于N
设A（m，n），
∵AE∥BD，AC＝2OC，
∴
∴BN＝OD＝，CD＝m，
∴B（3m，n），
∵AC＝2OC，△BOC的面积为2，
∴△AOB的面积为6，
∵S△AOB＝S梯形ABNM+S△AOM﹣S△BON＝S梯形ABNM，
∴（BN+AM）（ON﹣OM）＝6，即×（n+n）（m﹣3m）＝6，
∴mn＝﹣，
∴k﹣1＝﹣，
∴k＝﹣，
故答案为﹣．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，∠C＝60°，连接BD，BD⊥AB且BD＝CD，求四边形ABCD面积的最大值．小明过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，连接DH，则∠AHD的正弦值为　　，据此可得四边形ABCD的面积最大值为　　．

【分析】根据提议可知：∠C＝60°，BD＝CD，△BCD为等边三角形，根据平行线的性质可得∠A＝30°，即可求出∠AHD＝60°，即可得出答案；先推出HC∥BD，可得S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝S△ABD+S△BDH＝S△ADH，由tan∠BHD＝，结合勾股定理可得sin∠AHD的值，作△AHD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AD，连接AO，DO，设半径为R，延长EO交⊙O于点H′，可知，当H与H′重合时，S△ADH最大，求解即可得出答案．
【解答】解：∵CH⊥AB，BD⊥AB，
∴HC∥BD，
∵∠BCD＝60°，BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠HBC＝90°﹣∠CBD＝30°，
在Rt△BDH中，tan，
在Rt△BCH中，cos∠HBC＝cos30°＝，
∴sin；
如图∵HC∥BD，
∴S△BCD＝S△BHD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝S△ABD+S△BHD＝S△ADH＝•（AD边上的高），
求S四边形ABCD最大值，即求S△ADH面积最大，AD为定值，则当AD边上高最长时即为所求，
∵tan，AD＝6，
∴可作△ADH的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AD，连接AO，DO，设半径为R，延长EO交⊙O于点H′，
∵∠AOD与∠AHD是同弧所对的圆心角、圆周角，
∴∠AOD＝2∠AHD，
∵OE⊥AD，AD＝6，
∴∠AOE＝，AE＝，
∴tan∠AOE＝tan∠AHD＝＝，
∴OE＝，
∴R＝OA＝，
当H′与H重合时，S△ADH最大，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝S△ABD+S△BHD＝S△ADH＝＝＝．
故答案为：．

三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：﹣（π﹣3.14）0．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+3+2﹣﹣1
＝2．
16．（5分）化简：[（3x﹣y）（3x+y）﹣2xy﹣2（2x+y）（2x﹣y）]÷（x﹣y）．
【分析】直接利用整式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（9x2﹣y2﹣2xy﹣8x2+2y2）÷（x﹣y）
＝（x2+y2﹣2xy）÷（x﹣y）
＝（x﹣y）2÷（x﹣y）
＝x﹣y．
17．（5分）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作线段BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD即可．
【解答】解：如图，点D即为所求作．

18．（5分）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，连接BD，∠A＝∠E，AC＝ED．求证：∠CBD＝∠CDB．

【分析】先根据平行线的性质可得∠ABC＝∠ECD，再根据已知条件可应用角角边的证明方法证明△ABC≌△ECD，可得到BC＝CD，即可得出答案．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△ECD，
，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB．
19．（7分）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，一分钟跳绳次数记作x，共分为四个等级，60≤x＜80记为不合格，80≤x＜100记为合格，100≤x＜120记为良好，120≤x＜140记为优秀，并根据调查统计结果绘制了统计图：

请结合上述信息完成下列问题：
（1）请补全频数分布直方图，扇形统计图中“良好”等级对应的圆心角的度数是　108°　；
（2）该组数据的中位数落在　良好　（填等级）；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数的平均数．
【分析】（1）根据“优秀”等级对应的圆心角的度数求出“优秀”等级的人数，根据调查总人数可求得合格等级的人数，即可补全频数分布直方图；根据频数分布直方图可得“良好”等级的人数，用360°乘以良好等级人数所占比例即可；
（2）根据调查的总人数和每一等级的频数即可确定中位数落在那个范围内；
（3）用样本估计总体的方法即可估计该校学生一分钟跳绳次数次数的平均数．
【解答】解：（1）由题意得：
“优秀”等级的人数：40×25%＝10，
“合格”等级的人数：40﹣4﹣12﹣10＝14，
扇形统计图中“良好”等级对应的圆心角的度数是：360°×＝108°，
如图，即为补全的频数分布直方图：

故答案为：108°；
（2）∵共40名学生，
∴中位数为第20人和第21人的平均数，
∵第20人和第21人均落在100≤x＜120记为良好范围内，
故答案为：良好；
（3）（70×4+90×14+110×12+130×10）÷40＝104，
所以估计该校学生一分钟跳绳次数的平均数是104．
20．（7分）建筑工地的塔吊示意如图，爱钻研和思考问题的小亮和小颖来到塔吊前，测量塔吊的高度．小亮拿出自制的直角三角形ABC，将Rt△ABC的直角边AC平行于地面，眼睛通过斜边AB观察，一边观察一边走动，使得A、B、M共线，已知AB＝0.5m，BC＝0.3m，此时，小颖测量小亮距塔吊的距离DN＝40米，AD＝1米．随后，小颖站在另一侧的点E处，观察塔吊的项部M的仰角是60°，经过测量EF＝1.5米，那么根据以上数据你能求出小颖与塔吊的距离NE的长度吗？（结果保留根号）

【分析】过点C作CG⊥MN于G，过点F作FH⊥MN于H，根据相似三角形的判定和性质求出MG，进而求出MH，在Rt△MFH中，根据三角函数的定义求出FH，即可得到NE．
【解答】解：过点C作CG⊥MN于G，过点F作FH⊥MN于H，
则四边形ADNG，EFHN是矩形，
∴NG＝AD＝1，NH＝EF＝1.5，AG＝DN＝40，NE＝FH，
∵∠BCA＝90°，
∴BC⊥AG，
AC＝＝＝0.4，
∴BC∥MH，
∴△ABC∽△AMG，
∴＝，
∴＝，
∴MG＝30，
∴MH＝MG﹣HG
＝MG﹣（NH﹣NG）
＝30﹣（1.5﹣1）
＝29.5，
在Rt△MFH中，MH＝29.5，∠MFH＝60°，
∵tan∠MFH＝＝，
∴＝，
∴FH＝＝，
∴NE＝（米），
答：小颖与塔吊的距离NE的长度是米．

21．（7分）九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为　　；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，
所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的．
22．（8分）小明在学习过程中遇到了一个函数y＝+1，小明根据学习反比例函数y＝的经验，对函数y＝+1的图象和性质进行了探究．
（1）画函数图象：[问题1]函数y＝+1的自变量x的取值范围是　x≠2　；
①列表：如表．
x
…
﹣6
﹣2
1
0


3
4
6
10
…
y
…

0
﹣3
﹣1
﹣7
9
5
3
2

…
②描点：点已描出，如图所示．

③连线：[问题2]请你根据描出的点，西出该函数的图象．
（2）探究性质：根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象，回答下列问题：
[问题3]①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是　（2，1）　；
[问题4]②该函数图象可以看成是由y＝的图象平移得到的，其平移方式为　向右平移2个单位，再向上平移1个单位　；
[问题5]③结合函数图象，请直接写出+1≥﹣1时x的取值范围　x≤0或x＞2　．
【分析】（1）分母不为零；画图象；
（2）根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象即可得出结论．
【解答】解：（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是：x≠2，
故答案为：x≠2；
如图所示，

（2）根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象可知：
①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是 （2，1）；
②该函数图象可以看成是由y＝的图象平移得到的，其平移方式为：向右平移2个单位，再向上平移1个单位；
③结合函数图象，+1≥﹣1时x的取值范围是x≤0或x＞2．
故答案为（2，1）；向右平移2个单位，再向上平移1个单位；x≤0或x＞2．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．

【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；
（2）连接FM，设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE＝CE＝BC＝2，证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到，求出r＝3，证明△FMB∽△MEB，得出比例线段，则可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，

∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM＝∠CBM，
∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠OMB，
∴∠CBM＝∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：连接FM，设⊙O的半径为r，

∵AB＝AC＝12，AE是∠BAC的平分线，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴，
即，
解得r＝3，
∴BF＝6，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠FMB＝90°，
∴∠FMB＝∠MEB＝90°，
∵∠FBM＝∠MBE，
∴△FMB∽△MEB，
∴，
∴BM2＝BF•BE＝6×4，
∴BM＝2．
24．（9分）在平面直角坐标系中，经过点（1，﹣10），（2，﹣12）的抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线确定一点P，使∠ACP＝90°，求点P的坐标；
（3）是否在x轴上存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）过点P作PH⊥y轴于H，由余角的性质可求∠ACO＝∠CPH，由锐角三角函数可求解；
（3）分两种情况讨论，由锐角三角函数和等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣6；
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣6与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B，
∴点（0，﹣6），点A（﹣1，0），点B（6，0），
∴OA＝1，OC＝OB＝6，
如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∴∠PHC＝∠AOC＝∠ACP＝90°，
∴∠ACO+∠PCO＝90°＝∠PCO+∠CPH，
∴∠ACO＝∠CPH，
设点P（x，x2﹣5x﹣6），
∵tan∠ACO＝tan∠CPH＝，
∴＝，
解得：x1＝0，x2＝，
∴点P（，﹣）；
（3）如图2，当点M在OC的右侧时，过点M作MN⊥BC于N，

∵OB＝OC＝6，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，BC＝6，
∴∠OBC＝∠NMB＝45°，
∴MN＝BN，BM＝BN，
∵∠OCM+∠ACO＝45°，∠OCM+∠BCM＝45°，
∴∠ACO＝∠BCM，
∴tan∠ACO＝tan∠BCM＝＝，
∴CN＝6MN＝6BN，
∵CN+BN＝BC＝6，
∴BN＝MN＝，
∴BM＝BN＝，
∴OM＝OB﹣BM＝，
∴点M坐标为（，0）；
当点M'在OC的左侧，
∵∠OCM+∠ACO＝45°＝∠OCM'+∠ACO，
∴∠OCM'＝∠OCM，
∵OC⊥AB，
∴∠CMM'＝∠CM'M，
∴CM＝CM'，
∴OM＝OM'＝，
∴点M'（﹣，0）；
综上所述：点M坐标为（﹣，0）或（，0）．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．过点C作直线l，再分别过点A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则线段MN、AM、BN之间的数量关系为　MN＝AM+BN　；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，点P在AB上，点E、F分别是边AC、BC上，且∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．设BP＝x，求四边形CEPF的面积y与x之间的函数关系式；
（3）如图③是一个圆形广场，其中四边形ACBD规划为园林绿化区（四个顶点均在圆上），且要求∠ACB＝90°，AC＝30米，BC＝40米，连接AB、CD交于点P．为了更好的美化环境，需要在AC、BC边上分别确定点E、F，且满足∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．为了整体布局，计划在四边形CEPF内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪．已知花卉每平方米的价格是60元，草坪每平方米的价格是90元，从实用角度希望四边形CEPF的面积最大．根据设计要求，求出当四边形CEPF的面积最大时种植花卉和草坪的总费用．

【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠AMC＝∠CNB＝90°，则∠MAC+∠ACM＝90°，又∠ACB＝90°，则∠ACM+∠NCB＝90°，于是根据等量代换得到∠MAC＝∠NCB，根据“AAS”可证明△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM＝CN，CM＝BN，则MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）由PE⊥PF，∠ABC＝∠FPB，可得出∠EPA＝∠A，过点F作FM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，易证△BMF∽△BCA，可得FM＝x，
同理可得：EN＝，进而即可求解；
（3）由y＝﹣+﹣，可求出S四边形FPEC最大值，此时，CP⊥AB，S四边形ACBD＝2S△ABC，进而即可求解．
【解答】证明：（1）如图①，∵AM⊥l于M，BN⊥l于N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中，
，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∴MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）∵∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，
∴∠A+∠B＝90°，AB＝＝＝50，
∵PE⊥PF，
∴∠FPE＝90°，
∴∠FPB+∠EPA＝90°，
∵∠B＝∠FPB，
∴∠EPA＝∠A，
过点F作FM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∴BM＝BP＝x，PN＝AP＝（50﹣x），
∵∠FBM＝∠ABC，∠BMF＝∠BCA＝90°，
∴△BMF∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴FM＝x，
同理，＝，即＝，
∴EN＝，
∴S四边形FPEC＝S△ABC﹣S△FBP﹣S△EPA＝×40×30﹣•x•x﹣•（50﹣x）•，
∴y＝﹣+﹣；
（3）由（2）知：y＝﹣+﹣，
∴当x＝＝32时，y有最大值，
即：S四边形FPEC最大值＝﹣×322+×32﹣＝300，
此时，CP⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∴CP＝DP，即点C、D关于直线AB对称，
∴S四边形ACBD＝2S△ABC＝1200，
∴总费用＝60×300+（1200﹣300）×90＝99000（元）．