专题06 坐标变化类-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题06  坐标变化类

【规律总结】

在解答坐标变化规律题时，应先列出变化前后一系列的坐标值，然后分别形成横、纵坐标的两个数列，以前后数之间的符号循环变化、数量关系变化、数量循环变化为观察对象，从而得出结论；

【典例分析】

例1．（2021·合肥市第四十五中学八年级期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据已知分析得出横坐标为运动次数的相反数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而计算即可．

【详解】

解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，

第1次从原点运动到点（−1，1），

第2次接着运动到点（−2，0），

第3次接着运动到点（−3，2），

第4次运动到点（−4，0），

第5次接着运动到点（−5，1），…，

∴横坐标为运动次数的相反数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，

∴经过第2021次运动后，动点P的纵坐标为：2021÷4＝505……1，

故纵坐标为四个数中第1个，即为1，

∴经过第2021次运动后，动点P的坐标是：（−2021，1），

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．

例2．（2020·成都双流中学实验学校八年级月考）如图，已知直线上，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则的坐标为_________，的坐标_________．

【答案】（0，4）    （0，）   

【分析】

先求出点B的坐标为（，1），得到OA=1，AB=，求出∠AOB=60°，再求出∠得到，求出(0，4)；同理得到，，（0，）；由此得到规律求出答案．

【详解】

将y=1代入中得x=，

∴B（，1），

∴OA=1，AB=，

∴tan∠AOB=，

∴∠AOB=60°，

∵∠A1BO=90°，

∴∠，

∴，

∴，

∴(0，4)；

同理：，，

∴16，

∴（0，），

 ，

∴点的坐标为，

故答案为：（0,4）；．

【点睛】

此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键．

例3．（2020·吉林吉林市·）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示：

（1）填写下列各点的坐标：A5(   ，  )，A9(   ，   )，A13(   ，  )；

（2）写出点的坐标（n是正整数）；

（3）指出蜗牛从点到点的移动方向．

【答案】（1）2，1；4，1；6，1；（2）；（3）向上

【分析】

（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；

（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n+1的坐标（n为正整数）；

（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向．

【详解】

解：（1）根据点的坐标变化可知：

各点的坐标为：A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）；

故答案为：2，1；4，1；6，1；

②根据（1）发现：

点A4n+1的坐标（n为正整数）为（2n，1）；

③因为每四个点一个循环，

所以2021÷4=505…1．

所以蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是向上．

【点睛】

本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·河南郑州市·八年级期中）育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是（    ）

A．1009 B． C．505 D．

【答案】D

【分析】

先根据点的坐标归纳类推出一般规律，从而可得点的坐标，再根据点的坐标可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．

【详解】

由题意得：点的坐标为，

点的坐标为，

点的坐标为，

点的坐标为，

归纳类推得：点的坐标为，其中n为正整数，

，

点的坐标为，即，

又，

，且的边上的高为1，

则的面积为，

故选：D．

【点睛】

本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律，求出点的坐标是解题关键．

2．（2020·陕西西安市·西安高新第一学校八年级月考）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B2C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（　　）

A．（2n﹣1，2n﹣1） B．（2n﹣1，2n﹣1）

C．（2n﹣1，2n﹣1） D．（2n﹣1，2n﹣1）

【答案】D

【分析】

由的规律写出的坐标．

【详解】

∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），

∴点B3的坐标为（7，4），

∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．

则Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．

故选：D．

【点睛】

本题考查点的坐标规律探索，观察图形前面某些点的坐标，找出规律后再写出图形一般点的坐标．

二、填空题

3．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2020的坐标为______．

【答案】（-1，-1）

【分析】

根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形O A B C，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．

【详解】

解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，

∴B（1，1）；

连接OB，由勾股定理得：OB= ，由旋转得：OB= OB= OB=OB=…=；

∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BO B=∠BO B=…=45°，

∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…余4，

∴点B的坐标为（-1，1）．

故答案为（-1，-1）．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。也考查了坐标与图形的变化、规律型，点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．

4．（2020·黑龙江伊春市·九年级期末）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是______________．

【答案】(－37，1)

【分析】

先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A18的坐标．

【详解】

正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．

AB=1-（-1）=2，A1与B平行y轴，A1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A1（-1，-3）

CA1=1-（-3）=4，A2与C平行x轴，A2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A2（-5，1）

DA2=1-（-5）=6，A3与D平行y轴，A3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A3（1,7）

AA3=7-（-1）=8，A4与A平行x轴，A4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A4（9，-1）

A(1，﹣1)，A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），A5（-1，-11，A6（-13，1），

每四次变化回到相同的象限，

第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，

相应变化的坐标一周差8，

18÷4=4…2，A18在第二象限，

4×8=32，四周差32，

A18的横坐标为：-5-4×8=-37，

A18（-37，1），

故答案为：（-37，1）．

【点睛】

本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．

三、解答题

5．（2019·广东阳江市·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，，，，，．

（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形变换成三角形，求和的坐标；

（2）若按第（1）题的规律将三角形进行了次变换，得到三角形，请推测和的坐标．

【答案】（1），；（2），

【分析】

(1)据图形，A4的横坐标是A3的横坐标的2倍，纵坐标相同，B4横坐标是B3的2倍，纵坐标是0；

(2)由（1）知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，即可写出An、Bn的坐标．

【详解】

（1），它们的纵坐标都是3，

而横坐标依次为．

因此，，即

，它们的纵坐标都是0，

而横坐标依次是，

因此，，即；

（2）由上题规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1．

所以An（2n，3），Bn（2n+1，0）．

故答案分别为，．

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数幂是解题的关键.

6．（2019·安徽九年级零模）在直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，以与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到图形所示的图形

（1）观察以上图形并填写下列各点坐标：

，，，（为正整数）

（2）若是这组图形中的一个三角形，当时，则         ，       

【答案】（1）；；；（2），．

【分析】

（1）结合图形，先写出、的坐标，然后结合图形可发现规律，，，的横坐标依次多4，纵坐标没变从而可得的坐标；
找出图中A、B、C的角码变化规律，然后根据可得m、k得到值．

【详解】

解：（1）由图可得，，，
由图可得，，的纵坐标不变，横坐标多一个就多4，
的坐标为，即，
故答案为2，2；6，2；，2；
（2）因为，所以当n为奇数时，
由图可得，对应，对应，对应，对应，
对应，故当时，；
对应C，B3对应，对应，，
对应，故当时，，
故答案为1010，1009．

【点睛】

本题主要考查了轴对称与坐标的变化关系，解答此题的关键是弄清向右翻折只变横坐标，纵坐标不变．