专题09 新定义问题（2）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题09  新定义问题（2）

【规律总结】

※知识精要

新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题

目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义

的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

※要点突破

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【典例分析】

例1．（2020·东北师大附中明珠学校八年级期中）若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】D

【分析】

根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（），f（），…f（）的值，再计算结果即可．

【详解】

由f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，

f（）＝2，f（）＝2，f（）＝2，

f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，

∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，

故选：D．

【点睛】

本题考查了新定义问题，准确理解新定义的基本意义是解题的关键.

例2．（2020·浙江宁波市·七年级期末）现定义两种运算“”“ *”，对于任意两个孩数，，，则的结果是_________．

【答案】90

【分析】

首先理解两种运算“⊕”“*”的规定，然后按照混合运算的顺序，有括号的先算括号里面的，本题先算6⊕8，3⊕5，再把它们的结果用“*”计算．

【详解】

解：由题意知，（6⊕8）*（3⊕5）=（6+8-1）*（3+5-1）=13*7=13×7-1=90．

故答案为：90．

【点睛】

本题考查有理数的混合运算．考查了学生读题做题的能力．理解两种运算“⊕”“*”的规定是解题的关键．

例3．（2021·广东佛山市·七年级期末）对于有理数、，定义了一种新运算“※”为：

如：，．

（1）计算：①______；②______；

（2）若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值；

（3）若，，且，求的值．

【答案】（1）①5；②；（2）1；（3）16．

【分析】

(1)根据题中定义代入即可得出；

(2)根据，讨论3和 的两种大小关系，进行计算；

(3)先判定A、B的大小关系，再进行求解．

【详解】

（1）根据题意：∵，

∴，

∵，

∴．

（2）∵，

∴，

① 若，

则，解得，

②若，

则，解得(不符合题意)，

∴．

（3）∵，

∴，
 

∴，

得，

∴．

【点睛】

本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·北京西城区·北师大实验中学七年级期中）一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式．例如，是对称整式，不是对称整式．

①所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；

②一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同

③单项式不可能是对称整式

④若某对称整式只含字母，，，且其中有一项为，则该多项式的项数至少为3．

以上结论中错误的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】

根据对称整式的概念逐一辨析即可．

【详解】

①两个对称整式求和后，与原来对称整式的字母相同，且项数次数等都相同，则这个整式仍然是对称整式，故正确；

②例如：是对称整式，但是每一项的次数不相同，故错误；

③例如：是单项式，也是对称整式，故错误；

④已知其中一项为，

若互换，则有项为：；

若互换，则有项为：，；

若互换，则有项为：；

∴该多项式的项数至少为6，

综上，结论错误的有②③④，

故选：B．

【点睛】

本题考查整式的新定义问题，仔细审题，理解题意是解题关键．

2．（2021·全国七年级）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（    ）

A．6858 B．6860 C．9260 D．9262

【答案】B

【分析】

由可得≤，再根据和谐数为正整数，得到1≤n≤9，可得不超过2019的正整数中，“和谐数”共有10个，依次列式计算即可求解．

【详解】

解：由≤2019，可得≤，

∵和谐数为正整数，

∴1≤n≤9，且为正整数，

则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为…+=．

故选：B．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方、整式的乘法与乘法公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．

二、填空题

3．（2020·东北师大附中明珠学校八年级期中）对于任意实数，若规定＝ad﹣bc，则当x2﹣2x﹣5＝0时，＝_____．

【答案】9

【分析】

原式利用题中的新定义化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

【详解】

解：∵x2﹣2x﹣5＝0，

∴x2﹣2x＝5，

则原式＝（x+1）（x﹣1）﹣x（4﹣x）

＝x2﹣1﹣4x+x2

＝2x2﹣4x﹣1

＝2（x2﹣2x）﹣1

＝10﹣1

＝9．

故答案为：9．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键。

4．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”，若等腰三角形有一个内角为80°，则它的特征值_________．

【答案】或

【分析】

可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．

【详解】

解：①当80°为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：（180-80）÷2=50°，

∴特征值k=80÷50=，

②当80°为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°＝20°

∴特征值k=20÷80=，

综上所述，特征值k为或，

故答案为或．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．

三、解答题

5．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．

（1）特例感知

①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．

（2）深入探究

如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上试探究线段与的数量关系，并给予证明；

【答案】（1）①是；②；（2）证明见解析．

【分析】

（1）①设等腰直角三角形的直角边长为，再求解斜边的长为，由结合勾股高三角形的定义可得答案； ②根据勾股定理得到根据勾股高三角形的定义得到，再列方程，解方程可得答案；

（2）由△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，可得： 再由勾股定理可得：，从而可得结论．

【详解】

解：（1）①设等腰直角三角形的直角边长为，

则斜边长，

∵等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，

∴等腰直角三角形是勾股高三角形，

故答案为：是；

② ，，

由勾股定理可得：

∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，

∴，

∴，

 解得，（负根舍去）；

（2）AD=CB，

证明如下：∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，

∴，

∴

∴，

都为线段，

∴．

【点睛】

本题考查的是勾股定理，勾股高三角形的定义，利用平方根的含义解方程，等腰直角三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．

6．（2020·全国九年级专题练习）若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b．定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．

（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；

（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．

【答案】（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．

【分析】

（1）根据“尼尔数”的定义，设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则，分别令，，解方程，判断x的解是不是能被3整除的自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P表示的数为3m，则K可化为9m2＋3，由m为整数得9m2＋3被9除余3；

（2）设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P1，P2分别记为3m1，3m2，则K1－K2＝9m12－9m22＝189，m12－m22＝21，再根据m1，m2都是整数，可解出m1，m2，从而得到K1，K2．

【详解】

(1)设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则，，

，

令，得，令，得，

∴6不是尼尔数，39是尼尔数．

证明：设P表示的数为3m，则a＝(3m－1)，b＝(3m＋1)，

K＝(3m－1)2＋(3m＋1)2－(3m－1)(3m＋1)＝9m2＋3，

∵m为整数，∴m2为整数，

∴9m2＋3被9除余3；

(2)设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P1，P2分别记为3m1，3m2.

∴K1－K2＝9m12－9m22＝189，

∴m12－m22＝21，

∵m1，m2都是整数，

∴，

∴，

∴.

∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用、方程的整数解问题、学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．