专题11 新定义问题（4）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题11  新定义问题（4）【规律总结】※知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。※要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。【典例分析】例1．（2020·江西南昌市·七年级期末）对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)＝(﹣a，b)，如f(1，2)＝(﹣1，2)；g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)，据此得g[f(5，﹣9)]＝（　　）A．(5，﹣9) B．(﹣5，﹣9) C．(﹣9，﹣5) D．(﹣9，5)【答案】C【分析】根据f，g两种变换的定义自内而外进行解答即可．【详解】解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），故选：C．【点睛】本题考查了新定义坐标变换，根据题意、弄懂两种变换的方法是解答本题的关键．例2．（2019·浙江省义乌市望道中学七年级月考）对于正数规定，例如，计算__________．【答案】【分析】根据规定式子可得，从而可得，由此即可得．【详解】因为对于正数规定，所以，所以，则原式，，，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数加法运算的规律型问题，根据规定的运算式子，找出规律是解题关键．例3．（2020·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______．（2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长．（3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长．【答案】（1）四边形ABCE；（2）13或10；（2）2【分析】（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断；（2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明；（3）AM⊥BC，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB表示出AM，根据三角形的面积公式得到BC×AB＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．【详解】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，∴＝＝＝，∴ABC∽EAC，∴四边形ABCE是“友爱四边形”，∵≠，∴ABC与ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友爱四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC，则＝＝，∵，，，∴＝＝，解得AD＝，CD＝，∴友爱四边形的周长为；当∠B=∠D时，ABC∽ADC，则＝＝＝1，∵，，，∴＝＝1，解得AD＝2，CD＝3，∴友爱四边形的周长为，综上所述，友爱四边形的周长为13或10；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，则∠AMB＝90°，∵，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝AB，∵ABC的面积为3，∴BC×AB＝3，∴BC×AB＝12，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，且AB≠BC，∴ABD∽DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝12，∴BD＝＝2．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键．  【好题演练】一、单选题1．（2020·广东深圳市·九年级二模）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（    ）A．﹣12 B．0 C．4 D．162．（2020·全国八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（    ）A． B． C． D．二、填空题3．（2020·全国七年级单元测试）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程“．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程3x＝a是“和解方程”，则a的值为_____；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝ab+b是“和解方程“，并且它的解是x＝b，则a+b的值为_____．4．（2020·浙江杭州市·九年级）已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若，按上述规则操作三次，扩充所得的数是_________；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则的值为________．三、解答题6．（2020·首都师范大学附属育新学校九年级月考）在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出如下定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形．为图形上任意一点，为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”．已知点，点，点．（1）当时，记线段为图形．①画出图形；②若点为图形，则“转后距”为_________；③若线段为图形，求“转后距”；（2）已知点在点的左侧，点，记线段为图形，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出的取值范围．    6．（2020·成都市田家炳中学七年级期中）阅读理解：定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是它到点B的时距离的n（n为大于1的常数）倍，则称点C是（A，B）的n倍点，且当C是（A，B）的n倍点或（B，A）的n倍点时，我们也称C是A和B两点的n倍点．例如，在图1中，点C是（A，B）的2倍点，但点C不是（B，A）的2倍点．（1）特值尝试．①若，图1中，点________是（D，C）的2倍点．（填A或B）②若，如图2，M，N为数轴上两个点，点M表示的数是，点N表示的数是4，数________表示的点是（M，N）的3倍点．（2）周密思考：图2中，一动点P从N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动t秒，若P恰好是M和N两点的n倍点，求所有符合条件的t的值．（用含n的式子表示）（3）拓展应用：数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的M和N两点的所有n倍点P均处于点N的“可视距离”内，请直接写出n的取值范围．（不必写出解答过程）