数学必修51.2 应用举例第2课时练习题

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基础巩固
1在△ABC中,a=5,sin A=55,则bsinB等于( ).
不确定
解析:bsinB=asinA=555=55.
答案:A
2从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是( ).
A.α>βB.α=β
C.α+β=90°D.α+β=180°
解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.
答案:B
3如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为( )
A.4003 m
B.40033 m
C.20033 m
D.2003 m
解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC=OAcs30°=2×2003(m).
又∠B=120°,在△ABC中,由正弦定理ACsin120°=BCsin30°,得BC=ACsin30°sin120°=4003×1232=4003(m).
答案:A
4如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°,已知甲楼高AB=24 m,则乙楼高CD= .
答案:32 m
5如图所示,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B处测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为106 m,则旗杆的高度为_________________________m.
解析:由题意知∠BAN=105°,∠BNA=30°.
由正弦定理,得ANsin45°=106sin30°,解得AN=203(m).
在Rt△AMN中,MN=203sin 60°=30(m).
故旗杆的高度为30 m.
答案:30
6在湖面上高h m处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中影子的俯角为β,则云距湖面的高度为 .
解析:如图,设湖面上高h m处为A,在A处测得云C的仰角为α,测得云在湖中影子D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线交CD于E.
设云高CM=x m,
则CE=(x-h) m,DE=(x+h) m,
AE=CEtan∠CAE=x-htanα(m).
又AE=DEtan∠DAE=x+htanβ(m),则x-htanα=x+htanβ.
整理,得x=tanβ+tanαtanβ-tanαh=sin(α+β)sin(β-α)h.
答案:sin(α+β)sin(β-α)h m
7如图,两点C,D与烟囱底部在同一水平直线上,利用高为1.5 m的侧角仪器,在点C1,D1处测得烟囱的仰角分别是α=45°和β=60°,C,D间的距离是12 m.计算烟囱的高AB.(结果精确到0.01 m)
解如图,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,
由正弦定理,得C1D1sin∠C1BD1=BC1sin∠BD1C1,
BC1=C1D1sin∠BD1C1sin∠C1BD1=12sin120°sin15°
=(182+66)(m),
从而A1B=22BC1=18+63≈28.392(m),
因此AB=A1B+AA1≈28.392+1.5=29.892≈29.89(m).
答:烟囱的高约为29.89 m.
8某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.
解依题意画出图,某人在C处,AB为塔高,沿CD前进,CD=40米,此时∠DBF=45°,从C到D测塔的仰角,只有B到CD最短时,仰角才最大,这是因为tan∠AEB=ABBE,AB为定值,BE最短时,仰角最大.要求出塔高AB,必须先求BE,而要求BE,须先求BD(或BC).
在△BDC中,CD=40米,∠BCD=30°,∠DBC=135°.
由正弦定理,得CDsin∠DBC=BDsin∠DCB,
∴BD=40sin30°sin135°=202(米).
在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°,
∴BE=DBsin 15°=202×6-24=10(3-1)(米).
在Rt△ABE中,∠AEB=30°,∴AB=BEtan 30°=103(3-3)(米).
故所求的塔高为103(3-3)米.
能力提升
1有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长( ).
A.5 mB.10 mC.102 mD.103 m
解析:如图,设将坡底加长到B'时,倾斜角为30°,在△ABB'中,∠B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10 m.
在△BAB'中,由正弦定理,
得BB'=ABsin45°sin30°=10×2212=102(m).
故坡底延长102 m时,斜坡的倾斜角将变为30°.
答案:C
★2如图,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为( ).
A.156 m
B.206 m
C.256 m
D.306 m
解析:设建筑物的高度为h m,
由题图知,PA=2h m,PB=2h m,PC=233h m,
在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,
得cs∠PBA=602+2h2-4h22×60×2h,①
cs∠PBC=602+2h2-43h22×60×2h.②
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cs∠PBA+cs∠PBC=0.③
由①②③,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度为306 m.
答案:D
3一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在点B测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是 .
答案:50 m
4A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在点A测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在点B测得∠ABD=45°,其中点D是点C在海平面上的射影,则山高CD为 .
解析:如图,由于CD⊥AD,∠CAD=45°,
∴CD=AD.
因此,只需在△ABD中求出AD即可.
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
由ABsin15°=ADsin45°,得
AD=AB·sin45°sin15°=800×226-24=800(3+1)(m).
∴CD=AD=800(3+1) m.
答案:800(3+1) m
5如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿坡角为30°的斜坡走1 000 m至点S,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 .
解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°.
又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.
又AS=1 000,
∴DC=ST=ASsin 30°=500.
在△ASB中,ASsin∠ABS=BSsin∠SAB,
即1 000sin30°=BSsin15°,
故BS=2 000sin 15°
=2 000×6-24=500(6-2).
在Rt△SDB中,BD=BSsin∠BSD
=BSsin 75°=500(6-2)×6+24=500.
故山高BC=BD+DC=500+500=1 000(m).
答案:1 000 m
★6如图,飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔25 000 m,速度为3 000 m/min.飞行员先在点A看到山顶C的俯角为30°,经过8 min后到达点B,此时看到山顶C的俯角为60°,求山顶的海拔高度.
(参考数据:2≈1.414,3≈1.732,6≈2.449)
解如图,过点C作AB的垂线,垂足为点D.
依题意,AB=3 000×8=24 000(m).
又∠BAC=30°,∠DBC=60°,则∠BCA=30°,
故BC=AB=24 000(m).
在Rt△CBD中,CD=BC·sin 60°≈24 000×0.866=20 784(m),
故山顶的海拔高度约为25 000-20 784=4 216(m).