人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理课时训练

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基础巩固
1在△ABC中,符合余弦定理的是( ).
A.c2=a2+b2-2abcs C
B.c2=a2-b2-2bccs A
C.b2=a2-c2-2bccs A
D.cs C=a2+b2+c22ab
答案:A
2已知在△ABC中,bcs A=acs B,则△ABC是( ).
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
解析:由余弦定理得,b·b2+c2-a22bc=a·a2+c2-b22ac,
整理得,a=b.故选B.
答案:B
3在△ABC中,若a=7,b=8,cs C=1314,则最大角的余弦值是( ).
A.-15B.-16
C.-17D.-18
解析:因为c2=a2+b2-2abcs C=72+82-2×7×8×1314=9,所以c=3.
根据三边的长度知角B为最大角,
故cs B=a2+c2-b22ac=49+9-642×7×3=-17.
所以cs B=-17.
答案:C
4在△ABC中,已知a=2,则bcs C+ccs B等于( ).
A. 1B.2
C.2D.4
解析:bcs C+ccs B=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a22a=a=2.
答案:C
5在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则A等于( ).
A.30°B.60°
C.120°D.150°
解析:根据正弦定理,由sin C=23sin B可得c=23b,
把它代入a2-b2=3bc得a2-b2=6b2,
即a2=7b2.
结合余弦定理得
cs A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b22b·23b=32.
又∵0°答案:A
6在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则B= .
解析:由正弦定理,有a∶b∶c=5∶7∶8,不妨设a=5k,b=7k,c=8k,则由余弦定理得cs B=a2+c2-b22ac=(5k)2+(8k)2-(7k)22×5k×8k=12,所以B=π3.
答案:π3
7在△ABC中,若a=b=1,c=3,则C=__________________.
解析:由余弦定理,得cs C=a2+b2-c22ab=1+1-32×1×1=-12.
∵0°答案:120°
8在△ABC中,若b=1,c=3,A=π6,则a=__________________,sin B=__________________.
解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A=12+(3)2-2×1×3cs π6=1,
所以a=1.
所以a=b.
所以A=B=π6.
所以sin B=12.
答案:1 12
9在△ABC中,acs A+bcs B=ccs C,试判断△ABC的形状.
解法一由正弦定理,设asinA=bsinB=csinC=k>0,
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入已知条件得
ksin Acs A+ksin Bcs B=ksin Ccs C,
即sin Acs A+sin Bcs B=sin Ccs C.
根据二倍角公式得sin 2A+sin 2B=sin 2C,
即sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=2sin Ccs C,
∴2sin(A+B)cs(A-B)=2sin Ccs C.
∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,
∴sin(A+B)=sin C≠0,
∴cs(A-B)=cs C.
又cs(A+B)=-cs C,
∴cs(A-B)+cs(A+B)=0,
∴2cs Acs B=0,∴cs A=0或cs B=0,
即A=90°或B=90°,∴△ABC是直角三角形.
解法二由余弦定理知cs A=b2+c2-a22bc,cs B=a2+c2-b22ac,cs C=a2+b2-c22ab,
代入已知条件得a·b2+c2-a22bc+b·a2+c2-b22ac+c·c2-a2-b22ab=0,
通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,
展开整理得(a2-b2)2=c4.
∴a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.
根据勾股定理知,△ABC是直角三角形.
能力提升
1△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,且c=2a,则cs B等于( ).
解析:因为b2=ac,且c=2a,由余弦定理得cs B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-a·2a2a·2a=34.
答案:B
2设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acs A,则sin A∶sin B∶sin C等于( ).
A.4∶3∶2B.5∶6∶7
C.5∶4∶3D.6∶5∶4
解析:由题意可设a=b+1,c=b-1.
∵3b=20a·cs A,
∴3b=20(b+1)·b2+(b-1)2-(b+1)22b(b-1),
整理得7b2-27b-40=0,
解得b=5,故a=6,b=5,c=4,
即sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4.
答案:D
★3在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的大小为( ).
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
解析:∵(a2+c2-b2)tan B=3ac,
∴a2+c2-b22actan B=32,
即cs Btan B=32,sin B=32,B=π3或B=2π3.
答案:D
4在△ABC中,A=120°,c=5,a=7,则sinBsinC=_______________________.
解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A,
即49=b2+25+5b,
解得b=3或b=-8(舍去),
所以sinBsinC=bc=35.
答案:35
5在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,则△ABC的形状是 .
解析:根据余弦定理得b2=a2+c2-2accs B.
∵B=60°,2b=a+c,
∴a+c22=a2+c2-2accs 60°,
整理得(a-c)2=0,故a=c.
又B=60°,∴△ABC是等边三角形.
答案:等边三角形
6在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
解在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理,得cs∠ADC=AD2+DC2-AC22AD·DC=100+36-1962×10×6=-12.
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理,得ABsin∠ADB=ADsinB.
∴AB=AD·sin∠ADBsinB=10sin60°sin45°=10×3222=56.
7在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,4sin2B+C2-cs 2A=72.
(1)求角A的度数;
(2)若a=3,b+c=3,求b和c的值.
解(1)由4sin2B+C2-cs 2A=72.及A+B+C=180°,
得2[1-cs(B+C)]-2cs2A+1=72,
整理得4(1+cs A)-4cs2A=5,
即4cs2A-4cs A+1=0,
故(2cs A-1)2=0,
解得cs A=12.
∵0°(2)由余弦定理,得cs A=b2+c2-a22bc.
∵cs A=12,
∴b2+c2-a22bc=12,化简并整理,得(b+c)2-a2=3bc,
∴32-(3) 2=3bc,即bc=2.
则由b+c=3,bc=2,
解得b=1,c=2或b=2,c=1.
★8在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解(1)由已知,根据正弦定理得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A,
得cs A=-12.
又A∈(0,π),故A=2π3.
(2)由(1)中a2=b2+c2+bc及正弦定理,
可得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,
即322=sin2B+sin2C+sin Bsin C,
又sin B+sin C=1,∴sin B=sin C=12.
又0∴△ABC为等腰三角形,且是钝角三角形.