高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和课后复习题

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2.5　等比数列的前n项和课时过关·能力提升基础巩固1已知数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是(　　).A.511 B.1 023 C.1 533 D.3 069解析:设等比数列{an}的公比为q,则a2a4∵a1=3,∴32q4=144.∵q>0,∴q=2.∴S10069.答案:D2等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于(　　).AC解析:当x=0时,Sn=1;当x=1时,Sn=n;当x≠0,且x≠1时,Sn又当x=0时,该式也满足,所以Sn答案:C3中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了(　　)(里非国际通用单位)A.192里 B.96里C.48里 D.24里解析:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q由题意解得a1=192,则a2=19即第二天走了96里,故选B.答案:B4已知等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,则q3等于(　　).A.C.解析:∵S3,S9,S6成等差数列,∴S3+S6=2S9,∴q≠1,整理得2q9-q6-q3=0.又q≠0,∴2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍去)或q3=答案:A5已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于　　　　　　　　. 解析:设数列{an}的公比为q,由已知条件可因为{an}是递增的等比数列,所所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故Sn=2n-1.答案:2n-16已知等比数列的前20项的和为30,前30项的和为70,则前10项的和为　　　　　. 解析:由题意知S20=30,S30=70.∵S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,∴(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(30-S10)2=S10(70-30),解得S10=10.答案:107设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　　. 解析:设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列{an}的首项为a1=1,公比为q=3,故an=3n-1.答案:3n-18已知等比数列{an}共有2n项,它的全部项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=　　　　　. 解析:设{an}的公比为q,由已知可得q≠1,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2nS由题意∴1+q=3,∴q=2.答案:29已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和.(1)设S3(2)若S4,S10,S7成等差数列,证明a1,a7,a4也成等差数列.(1)解设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.由已知得q≠1,于解an=a1qn-1=2·(2)证明∵S4,S10,S7成等差数列,∴q≠1,S4+S7=2S10,整理得q4+q7=2q10,∴1+q3=2q6,∴a1+a1q3=2a1q6,∴a1+a4=2a7,即a1,a7,a4也成等差数列.10等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求{an}的公比q;(2)已知a1-a3=3,求Sn.解(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).因为a1≠0,所以2q2+q=0.又q≠0,所以q=(2)由已知可得a1-a1=4.从而Sn能力提升1在等比数列{an}(n∈N*)中,若a1=1,a4A.2C.2解析:设公比为q,q则该数列的前10项和为S10答案:B2设数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5等于(　　).A解析:设等比数列{an}的公比为q,所以S5答案:B3若数列{an}是等比数列,且对任意n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,A.(2n-1)2 B2n-1)2C.4n-1 D4n-1)解析:由Sn=2n-1得a1=S1=1,a2=S2-S1=22-2=2.故公比为q=2,可知数,公比为q2=4.所4n-1)答案:D★4等比数列{an}的首项为1,公比为q,前n项和为S,由原数列各项的倒数组成一个新数A解析:因为a1=1,公比为q,若q≠1,则其前n项和为S而在数,公比设其前n项和为S',则S'当q=1时,S=S'=n,也符合S'C.答案:C5等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,S6=63,则S4=.解析:由题意可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,则(S4-S2)2=S2(S6-S4),∴(S4-3)2=3(63-S4),解得S4=15或S4=-12.又S4=S2+S2·q2=3+3q2>0,∴S4=15.答案:156某公司今年获得利润500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年利润比上一年增加30%,则7年后该公司实现的总利润为　　　　　万元. 解析:设第n年的利润为an万元,则an+1=an+an×30%=1.3an,所以数列{an}是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司实现的总利润为S7).答案:7在数列{an}中,a1∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn;(2)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值.解(1)由Sn+1-Snan+1∈N*).又a1an∈N*).从而Sn∈N*).(2)由(1)知,S1从而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可t=2.★8已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S5=35.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)若数列{bn}满足bn解(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,故Sn=na1(2)由(1),得an=3n-2,∴bn=e3n-2,且b1=e.当n≥2),∴数列{bn}是首项为e,公比为e3的等比数列.∴Tn