高中数学人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换同步达标检测题

第2课时　三角恒等变换的应用

基础巩固

1.若函数f(x)=-sin2x+(x∈R),则f(x)是(　　)

A.最小正周期为的奇函数

B.最小正周期为π的奇函数

C.最小正周期为2π的偶函数

D.最小正周期为π的偶函数

解析:f(x)=-cos 2x.故选D.

答案:D

2.函数y=cos2-sin2是(　　)

A.周期为π的奇函数

B.周期为π的偶函数

C.周期为2π的奇函数

D.周期为2π的偶函数

解析:y=cos2-sin2

=cos 2=-sin 2x,

则其为奇函数,周期T==π.

答案:A

3.函数y=的最小正周期等于(　　)

A. B.π C.2π D.3π

解析:y==tan,T==2π.

答案:C

4.函数y=sin 2x+sin2x的值域是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析:∵y=sin 2x+sin2x=sin 2x+sin,

∴值域为.

答案:C

5.设函数f(x)=2cos2ωx+sin(其中ω>0),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为,则ω的值为　　　　　. 

解析:f(x)=1+cos 2ωx+sin 2ωx-cos 2ωx=sin+1.

由2ωx+=2kπ+(k∈Z),得ωx=kπ+(k∈Z).

又ω>0,∴当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x=,

故ω=1.

答案:1

6.函数f(x)=sin x-cos x的单调递增区间是　　　　　. 

解析:f(x)=2=2sin,

令-+2kπ≤x-+2kπ(k∈Z),

则-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).

即单调递增区间是(k∈Z).

答案:(k∈Z)

7.如图,圆心角为直角的扇形AOB,半径OA=2,点C是上任一点,且CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,设∠AOC=x,矩形OECF的面积为f(x).

求:(1)f(x)的解析式;

(2)矩形OECF面积的最大值.

解:(1)∵f(x)=OE·EC=OCcos x·OCsin x=4sin xcos x=2sin 2x,

∴f(x)=2sin 2x,x∈.

(2)∵f(x)=2sin 2x,x∈,

∴0<2x<π.

∴当x=时,f(x)取得最大值2,

即矩形OECF面积的最大值为2.

8.已知函数f(x)=2sin2x-cos.

(1)求f的值;

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解:(1)f(x)=2sin2x-cos

=2sin2x+sin 2x=1-cos 2x+sin 2x

=sin+1,

所以fsin+1=1.

(2)由(1)得f(x)=sin+1,所以周期T==π,令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为,kπ+(k∈Z).

能力提升

1.设奇函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos (ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为π,则(　　)

A.f(x)在上单调递减

B.f(x)在上单调递减

C.f(x)在上单调递增

D.f(x)在上单调递增

解析:f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin,

∵函数的最小正周期是π,

∴T==π,∴ω=2.

∵f(x)是奇函数,∴φ+=kπ,k∈Z,

即φ=kπ-,k∈Z.

∵|φ|<,∴当k=0时,φ=-,

即f(x)=sin 2x,则f(x)在上单调递减,故选B.

答案:B

2.已知函数f(x)=sin ωxcos ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为,则ω=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:f(x)=sin 2ωx-

=sin 2ωx-cos 2ωx-

=sin,

则,∴ω=2.

答案:B

3.关于函数f(x)=sin 2x-cos 2x,有下列命题:

①函数y=f(x)的最小正周期为π;

②直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴;

③点是y=f(x)图象的一个对称中心;

④将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,可得到y=sin 2x的图象.

其中真命题的序号是　　　　　. 

解析:f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,则T==π;

fsin=1,f不是函数f(x)的最值,则直线x=不是y=f(x)的图象的一条对称轴;

fsin=0,则点是y=f(x)的图象的一个对称中心;

将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,可得到y=sinsin的图象,不是y=sin 2x的图象,故①③正确,②④错误.

答案:①③

4.在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cos 2θ的值等于　　　　　. 

答案:

5.函数f(x)=sin+cos的最大值为　　　　　. 

解析:函数f(x)=sin+cos

=sin+cos

=sin+sinsin.

答案:

6.已知函数f(x)=.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期;

(2)求f(x)的单调递增区间.

解:(1)由sin x≠0,得x≠kπ(k∈Z),

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}

因为f(x)==2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,

所以f(x)的最小正周期T==π.

(2)函数y=sin x的单调递增区间为

(k∈Z).

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),

得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z).

所以f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

7.★已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x,

(1)若点P(1,-)在角α的终边上,求f(α)的值;

(2)若x∈,求f(x)的值域.

解:(1)因为点P(1,-)在角α的终边上,

所以sin α=-,cos α=.

所以f(α)=sin 2α-2sin2α

=2sin αcos α-2sin2α

=2-2×=-3.

(2)f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x+cos 2x-1=2sin-1,

因为x∈,所以-≤2x+.

所以-≤sin≤1.

所以f(x)的值域为[-2,1].