人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算课后练习题

2.2　平面向量的线性运算

2.2.1　向量加法运算及其几何意义

课时过关·能力提升

基础巩固

1.在四边形ABCD中,,则四边形ABCD是 (　　)

A.任意四边形 B.矩形

C.正方形 D.平行四边形

答案:D

2.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则等于(　　)

A. B. C. D.

解析:.

答案:B

3.如图,等于(　　)

A.

B.

C.

D.

解析:.

答案:A

4.在平行四边形ABCD中,若||=||,则四边形ABCD是(　　)

A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定

解析:由题意知||=||.

又||=||=||,

∴||=||.∴四边形ABCD是矩形.

答案:B

5.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则=(　　)

A. B. C. D.

解析:设a=,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=,则a与长度相等,方向相同,所以a=.

答案:C

6.若向量a与b共线,且|a|=|b|=1,则|a+b|=　　　　　. 

解析:a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|=2;a与b反向时,|a+b|=||a|-|b||=0.

答案:0或2

7.若向量平分∠AOB,则的关系是　　　　　. 

解析:以OA与OB为邻边作▱OACB,则.又OC平分∠AOB,所以▱OACB是菱形,

即||=||.

答案:||=||

8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,则=　　　　　. 

解析:由题意,得.

答案:

9.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.

解:如图,∵||=||=3,

∴四边形OACB为菱形.

连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.

∵∠AOB=60°,∴AB=||=3,

∴在Rt△BDC中,CD=,

∴||=|a+b|=×2=3.

10.如图,两个力F1和F2同时作用在一个质点O上,且F1的大小为3 N,F2的大小为4 N,且∠AOB=90°,试作出F1和F2的合力,并求出合力的大小.

分析:由于力是向量,按平行四边形法则作出合力,再利用勾股定理求出合力的大小.

解:如图,表示力F1,表示力F2,以OA,OB为邻边作▱OACB,

则是力F1和F2的合力.

在△OAC中,||=3,||=||=4,且OA⊥AC,则||==5,即合力的大小为5 N.

能力提升

1.设a表示“向东走5 km”,b表示“向南走5 km”,则a+b表示(　　)

A.向东走10 km  B.向南走10 km

C.向东南走10 km  D.向东南走5 km

解析:如图,=a+b,||=5,||=5,且AB⊥BC,则||=5,∠BAC=45°.

答案:D

2.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向(　　)

A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反

C.与向量b的方向相同 D.与向量b的方向相反

解析:根据向量加法的几何意义,a+b的方向应与a的方向一致.

答案:A

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果与向量共线的有(　　)

①()+;②()+;

③()+;④()+.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:D

4.如图所示,O(0,0),A(-2,-1),B(0,1),则||=　　　　　. 

答案:2

5.★已知|a|=3,|b|=2,则|a+b|的取值范围是　　　　. 

解析:|a|-|b|=3-2=1,|a|+|b|=3+2=5,又|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,则有1≤|a+b|≤5.

答案:[1,5]

6.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC.求证:.

证明,

,

∴.

∵大小相等,方向相反,

∴=0,

故+0=.

7.★如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,分别求A处和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).

解:如图,设分别表示A,B处所受的力,10 N的重力用表示,

则.

易得∠ECG=180°-150°=30°,

∠FCG=180°-120°=60°,

∴||=||cos 30°=10×=5.

||=||cos 60°=10×=5.

∴A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N.