2020-2021学年3.2 一元二次不等式及其解法第2课时练习题

第2课时　一元二次不等式的应用

课时过关·能力提升

基础巩固

1若集合M=(-1,+∞),集合N={x|x(x+2)≤0},则M∩N=(　　).

A.[0,2] B.(0,+∞) C.(-1,0] D.(-1,0)

解析:N={x|-2≤x≤0},所以M∩N=(-1,0].

答案:C

2若关于x的不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是(　　).

A.m≥2 B.m≤-2

C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2

解析:∵不等式x2+mx+1≥0的解集为R,

∴Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.

答案:D

3若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为(　　)

A.1 B.-1 C.-3 D.3

解析:由x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,得m≤x2-4x对任意x∈(0,1]恒成立.

设f(x)=x2-4x,则m≤f(x)min.

∵f(x)=x2-4x在(0,1]上是减函数,

∴f(x)min=f(1)=-3.

∴m≤-3.

答案:C

4若关于x的一元二次方程x2-(t+2)xt的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,-5)∪(1,+∞)

5函数y

解析:由6-x-x2>0,得x2+x-6<0,∴-3<x<2.

答案:{x|-3<x<2}

6若关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集是⌀,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:∵x2-2x-(a2-2a-4)≤0的解集是⌀,

∴Δ=4+4(a2-2a-4)<0.

∴a2-2a-3<0,∴-1<a<3.

答案:(-1,3)

7若关于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m+5=0的实数根均是正数,则实数m的取值范围是　　　　　. 

解析:由题意

解得-5<m≤-1.

答案:(-5,-1]

8已知关于x的函数yR,求k的取值范围.

解函数yR,

即kx2-6kx+(k+8)≥0恒成立.

当k=0时,显然8>0恒成立;

当k≠0时,

解得0<k≤1.

综上所述,k的取值范围是[0,1].

9某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围.

解设花卉带的宽度为x m(0<x<300),

则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m.

所以草坪的面积为(800-2x)(600-2x).

依题意有(800-2x)(600-2x)≥

所以(400-x)(300-x)≥60 000,

整理得x2-700x+60 000≥0.

解得x≤100或x≥600,又因为0<x<300,

所以x的取值范围是0<x≤100,

答:花卉带宽度的范围应是0~100 m.

10你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗?

解设围成的矩形一边的长为x m,则另一边的长为(50-x)m,且0<x<50.

由题意,得围成矩形的面积S=x(50-x)>600,

即x2-50x+600<0,解得20<x<30.

所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于600 m2的矩形.

能力提升

1设M={x|x2-x≤0},若函数f(x)=ln(1-x)的定义域为N,则M∩N=(　　).

A.[0,1) B.(0,1) C.[0,1] D.(-1,0]

解析:M={x|0≤x≤1},N={x|x<1},

所以M∩N={x|0≤x<1}=[0,1).

答案:A

2若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值集合为(　　).

A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}

C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}

解析:依题意应a=0,a=0.

解得0≤a≤4.

答案:D

3某产品的总成本为C(单位:万元),它与产量x(单位:台)的关系是C=3 000+20x-0.1x2,其中x∈(0,240),且x为正整数,若每台售价为25万元,则生产厂家不亏本的最低产量是(　　).

A.60台 B.90台 C.120台 D.150台

解析:由题意,有25x-C≥0,

即25x-3 000-20x+0.1x2≥0,

解此不等式,得x≥150,且x为正整数或x≤-200(舍去).

答案:D

4若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,-1)∪(3,+∞),则对函数f(x)=ax2+bx+c,下列不等式成立的是(　　).

A.f(4)>f(0)>f(1) B.f(4)>f(1)>f(0)

C.f(0)>f(1)>f(4) D.f(0)>f(4)>f(1)

解析:由题意知-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,

对二次函数f(x)=ax2+bx+c来说,其对称轴x=.

由于|4-1|>|1-0|,∴f(4)>f(0)>f(1).

答案:A

5若关于x的方

解析:由题意

解得0<m<1.

答案:(0,1)

6若点P(m,1)到直线3x+4y=0的距离大于1,则实数m的取值范围是　　　　　. 

解析:点P(m,1)到直线3x+4y=0的距离d

则|3m+4|>5,

则(3m+4)2>25,解得m<-3或m

答案:(-∞,-3)∪

★7有纯农药液一桶,倒出8升后用水补满,然后又倒出4升后再用水补满,此时桶中的纯农药液不超过容积的28%,则桶的容积V(单位:升)的取值范围是　　　　　. 

解析:设桶的容积为x升,那么第一次倒出8升纯农药液后,桶内还有(x-8)升纯农药液,用水补满后,桶内纯农药液占容积

第二次又倒出4升药液,则倒出的纯农药液,

此时桶内有纯农药.

依题意,得(x-8)≤28%x.

由于x>0,因而原不等式化简为9x2-150x+400≤0,

即(3x-10)(3x-40)≤0,解≤x≤

答案:≤V≤

8某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,出厂价为60元/个,日销售量为1 000个.为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0<x<1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x,同时预计日销售量增加的百分率为0.8x,已知日利润=(出厂价-成本)×日销售量,且设增加成本后的日利润为y.

(1)写出y与x的关系式;

(2)为使日利润有所增加,求x的取值范围.

解(1)由题意,得y=[60×(1+0.5x)-40×(1+x)]×1 000×(1+0.8x)=2 000(-4x2+3x+10)(0<x<1).

(2)要保证日利润有所增加,

0<x

所以为保证日利润有所增加,x的取值范围

★9当x∈(1,2)时,关于x的不等式x2+mx+4<0恒成立,求m的取值范围.

解法一设f(x)=x2+mx+4,

则f(x)<0在x∈(1,2)内恒成立等价于

m≤-5.

故所求m的取值范围为(-∞,-5].

解法二∵x∈(1,2),

∴不等式x2+mx+4<0恒成立等价于m<x∈(1,2)内恒成立.

令g(x)=g(x)在(1,2)内单调递增.

故g(x)>g(1)=-5,∴m≤-5.

故所求m的取值范围为(-∞,-5].