高中数学第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课后复习题

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

课时过关·能力提升

基础巩固

1.-sin215°的值是(　　)

A. B. C. D.

解析:原式=.

答案:D

2.已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则sin 2α=(　　)

A.-1 B.- C. D.1

解析:将sin α-cos α=两端同时平方得,

(sin α-cos α)2=2,整理得1-2sin αcos α=2,

于是sin 2α=2sin αcos α=-1,故选A.

答案:A

3.若tan θ+=4,则sin 2θ=(　　)

A. B. C. D.

解析:由tan θ+=4,得=4,

即=4,sin 2θ=.

答案:D

4.若x=,则cos2x-sin2x的值等于(　　)

A. B. C. D.

解析:当x=时,cos2x-sin2x=cos 2x=cos=cos.

答案:D

5.化简的结果是(　　)

A.sin B.cos

C.2sin-cos D.2cos-sin

答案:B

6.=　　　　　. 

解析:原式=tan=tan.

答案:

7.在△ABC中,若cos A=,则sin 2A=　　　　　,cos 2A=　　　　　,tan 2A=　　　　　. 

解析:∵0<A<π,

∴sin A=.

∴sin 2A=2sin Acos A=,

cos 2A=2cos2A-1=2×-1=-1=-,tan 2A==-.

答案:　-　-

8.已知cos 2θ=,则cos4θ+sin4θ=　　　　　. 

解析:cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2-2sin2θcos2θ

=1-sin22θ=1-(1-cos22θ)

=1-.

答案:

9.已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x,x∈R,求f(x)的周期及值域.

解:f(x)=+sin 2x+

=2+sin 2x+cos 2x=2+sin.

∴函数f(x)的周期为π,值域为[2-,2+].

10.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,试判断△ABC的形状.

解:sin Asin B=cos2,

即2sin Asin B+cos(A+B)=1,

∴2sin Asin B+cos Acos B-sin Asin B

=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1.

∵-π<A-B<π,

∴A-B=0,即A=B.

∴△ABC是等腰三角形.

能力提升

1.函数y=sinsin的最小正周期为 (　　)

A. B. C.2π D.π

解析:y=sinsin

=sincossin.

所以该函数的周期为.

答案:A

2.已知α为第二象限角,sin α+cos α=,则cos 2α等于 (　　)

A.- B.- C. D.

解析:由题意,得(sin α+cos α)2=,

∴1+sin 2α=,sin 2α=-.

∵α为第二象限角,

∴cos α-sin α<0.

又∵sin α+cos α>0,

∴cos α<0,sin α>0,

且|cos α|<|sin α|,

∴cos 2α=cos2α-sin2α<0,

∴cos 2α=-=-=-=-,故选A.

答案:A

3.若sin,则cos的值是(　　)

A.- B.- C. D.

解析:cos=cos

=-cos

=-

=2sin2-1=2×-1=-.

答案:A

4.已知=1+2,则sin2θ+sin 2θ的值为(　　)

A.1 B. C. D.

解析:由=1+2,得tan θ=.

∴sin2θ+sin 2θ====1.

答案:A

5.已知tan =2,则=　　　　　. 

解析:

=

==tan=2.

答案:2

6.★sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值等于　　　　　. 

解析:sin 10°sin 50°sin 70°

=

=

=

=

=,

∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.

答案:

7.已知函数f(x)=sin x-2sin2.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间上的最小值.

解:(1)因为f(x)=sin x+cos x-

=2sin,

所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为0≤x≤,

所以≤x+≤π.

当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.

所以f(x)在区间上的最小值为f=-.

8.★设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.

(1)若|a|=|b|,求x的值;

(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.

解:(1)由|a|2=(sin x)2+sin2x=4sin2x,|b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.

又x∈,从而sin x=,所以x=.

(2)f(x)=a·b=sin xcos x+sin2x

=sin 2x-cos 2x+=sin,

当x=时,sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为.