2020-2021学年第一章 三角函数综合与测试课时作业

第一章检测(B)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若角α的终边与单位圆交于点P,则sin α-cos α=(　　)

A.2 B.-2 C. D.-

解析:根据角α的终边与单位圆交于点P,

可得x=,y=-,r==1,

所以cos α=,sin α==-,

所以sin α-cos α==-2.

答案:B

2.函数f(x)=sin x在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-1,f(b)=1,则cos=(　　)

A.0 B. C.-1 D.1

解析:由正弦曲线知,=2kπ,k∈Z,

∴cos=1.

答案:D

3.如图,曲线对应的函数是(　　)

A.y=|sin x| B.y=sin|x|

C.y=-sin|x| D.y=-|sin x|

解析:由图象知,函数是偶函数,且当x≥0时,y=-sin x,故选C.

答案:C

4.为得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin x 的图象(　　)

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

解析:∵y=cos

=sin=sin,

∴只需将y=sin x的图象向左平移个单位长度.

答案:C

5.函数y=2sin(x∈[0,π])为增函数的区间是 (　　)

A. B. C. D.

解析:由2x-(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+,又x∈[0,π],∴x∈.

答案:C

6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图,则ω,φ的值分别是(　　)

A.2,- B.2,- C.4,- D.4,

解析:由图象可得,

∴T=π,则ω==2.将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中,得sin=1,

令+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z.

又∵φ∈,则取k=0,∴φ=-.故选A.

答案:A

7.若2kπ+π<θ<2kπ+(k∈Z),则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是(　　)

A.sin θ<cos θ<tan θ B.cos θ<tan θ<sin θ

C.cos θ<sin θ<tan θ D.sin θ<tan θ<cos θ

解析:在单位圆中画出角θ的三角函数线,如图.

sin θ=MP<0,cos θ=OM<0,

tan θ=AT>0,且|OM|>|MP|,

∴cos θ<sin θ<tan θ.

答案:C

8.设ω是正实数,函数f(x)=2cos ωx在上单调递减,则ω的值可以是(　　)

A. B.2 C.3 D.4

解析:因为函数f(x)=2cos ωx在上单调递减,所以要使函数f(x)=2cos ωx(ω>0)在上单调递减,则,即T≥,所以T=,解得ω≤.结合选项知,ω的值可以是.故选A.

答案:A

9.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(单位:m)可看作是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t),经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象,下表是某日各时的浪高数据:

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　)

A.y=cost+1 B.y=cost+

C.y=2cost+ D.y=cos 6πt+

解析:∵T=12-0=12,∴ω=.

又最大值为2,最小值为1,

则解得A=,b=,

∴y=cost+.

答案:B

10.已知函数f(x)=2cos(3x+φ)+3,若∀x∈,f(x)的图象恒在直线y=3的上方,则φ的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

解析:函数f(x)=2cos(3x+φ)+3,当x∈时,3x+φ∈,

又f(x)的图象恒在直线y=3的上方,

∴2cos(3x+φ)+3>3,

∴cos(3x+φ)>0,

∴

解得0≤φ≤,

∴φ的取值范围是.

答案:C

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11.若tan α=-2,则的值为　　　　　. 

解析:=-.

答案:-

12.在平面直角坐标系中,O是原点,A(,1),将点A绕O逆时针旋转90°到点B,则点B的坐标为　　　　　. 

解析:依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°.设点B的坐标为(x,y),则x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°=,即B(-1,).

答案:(-1,)

13.将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=　　　　. 

解析:本题可逆推,由y=sin x的图象推f(x)=sin(ωx+φ)的图象.将y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin的图象.

所以f=sin=sin.

答案:

14.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且函数y=f为偶函数,则f(x)的解析式为　　　　　. 

解析:由题设知T=,所以T=π,所以ω==2,又y=f为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以sin(π+φ)=1或sin(π+φ)=-1.

因为0<φ<π,所以φ=.

所以f(x)=sin=cos 2x.

答案:f(x)=cos 2x

15.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是　　　　　. 

解析:由题意cos=sin,

即sin+φ=kπ+(-1)k·(k∈Z).

因为0≤φ<π,所以φ=.

答案:

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)已知sin α+cos α=-.

(1)求sin·cos的值;

(2)若<α<π,且角β的终边经过点P(-3,),求的值.

解:(1)∵sin α+cos α=-,

∴(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,

∴sin·cos=sin α·cos α=-.

(2)由(1)得,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=.

又<α<π,∴sin α-cos α>0,

∴sin α-cos α=.

又∵角β的终边经过点P(-3,),∴cos β=-,

∴

=

=.

17.(8分)已知sin(α+π)=,且sin αcos α<0,求的值.

解:∵sin(α+π)=,∴sin α=-<0.

再由sin αcos α<0,得cos α>0.

于是α为第四象限角,

∴cos α=,tan α=-.

∴

=

=

==-.

18.(9分)已知函数f(x)=asin+b(x∈R,a>0,ω>0)的最小正周期为π,函数f(x)的最大值是,最小值是.

(1)求ω,a,b的值;

(2)指出f(x)的单调递增区间.

解:(1)由函数的最小正周期为π,得=π,∴ω=1.

又f(x)的最大值是,最小值是,

则解得

(2)由(1)知f(x)=sin.

当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),

即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,f(x)单调递增,

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

19.(10分)2019年的元旦,N市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|≤π).从气象台得知:N市在该天的温度为1 ℃到9 ℃,其中最高气温只出现在14:00,最低气温只出现在2:00.

(1)求函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式;

(2)若元旦当天M市的气温变化曲线也近似地满足函数y1=A1sin(ω1x+φ1)+b1,且气温变化也为1 ℃到9 ℃,只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N市迟了4 h.

①求早上7时,N市与M市的两地温差;

②若同一时刻两地的温差不超过2 ℃,我们称之为温度相近,求2019年元旦当日,N市与M市温度相近的时长.

解:(1)由已知可得b=5,A=4,T=24,故ω=.

因为最低气温出现在2:00,

所以2ω+φ=2kπ-(k∈Z).

又|φ|≤π,所以φ=-,

所以所求的函数解析式为y=4sin+5.

(2)由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数y1=4sin+5,

y-y1=4

=4=4sin.

①当x=7时,

y-y1=4sin=2.

②|y-y1|≤2⇒-2≤4sin≤2⇒2≤x≤6或14≤x≤18.

则2019年元旦当日,N市与M市温度相近的时长为8 h.

20.(10分)已知函数f(x)=lg sin.

(1)求f(x)的定义域及值域;

(2)求f(x)的单调递增区间.

解:(1)由sin>0,

得sin<0,

∴2kπ-π<2x-<2kπ,k∈Z,

∴2kπ-π<2x<2kπ+,k∈Z,

∴kπ-<x<kπ+,k∈Z,

即f(x)的定义域为,k∈Z.

∵0<sin≤1,

∴f(x)≤0,

即f(x)的值域为(-∞,0].

(2)∵10>1,

∴求f(x)的单调增区间即求sin的单调增区间,即求sin的单调减区间.

由

得kπ+<x<kπ+,k∈Z.

∴函数f(x)的单调增区间为,k∈Z.