数学人教版新课标A3.2 简单的三角恒等变换达标测试

3.2　简单的三角恒等变换

第1课时　三角恒等变换

课时过关·能力提升

基础巩固

1.已知cos α=,α∈,则sin 等于(　　)

A. B.- C. D.

解析:由题知,则sin >0,故sin .

答案:A

2.y=sin xcos x+sin2x可化为(　　)

A.y=sin

B.y=sin

C.y=sin

D.y=2sin+1

解析:y=sin 2x+

=sin 2x-cos 2x+

=

=sin.

答案:A

3.已知cos α=-<α<π,则sin等于(　　)

A.- B. C.- D.

解析:∵<α<π,∴,则sin.

答案:D

4.等于(　　)

A.tan α B.tan 2α C.1 D.

解析:原式==tan 2α.

答案:B

5.化简=(　　)

A.sin α B.cos α C.1+sin 2α D.1-sin 2α

解析:原式=

=2sincos

=2cos2=1+cos 2

=1+cos=1-sin 2α.

答案:D

6.已知sin θ=,θ∈,则cos=　　　　　. 

解析:∵θ∈,∴.

∴cos θ=-=-.

∴cos.

答案:

7.若=-,则sin α+cos α的值为　　　　　. 

解析:由已知得

=

==-.∴sin α+cos α=.

答案:

8.已知tan,则cos α=　　　　　. 

解析:∵tan=±,∴tan2.

∴,解得cos α=.

答案:

9.已知sin θ+cos θ=2sin α,sin2β=sin θcos θ,求证:2cos 2α=cos 2β.

分析:观察已知条件和要证的结论,发现要证的等式中不含角θ,因此从已知条件中消去角θ,问题即可得证.

证明由题意,得

①2-②×2,得4sin2α-2sin2β=1.

∴1-2sin2β=2-4sin2α,则有cos 2β=2cos 2α.

10.已知函数f(x)=2sin(π-x)cos x.

(1)将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式(A>0,ω>0);

(2)求f(x)的最小正周期;

(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解:(1)f(x)=2sin(π-x)cos x=2sin xcos x=sin 2x.

(2)由(1)知函数f(x)的最小正周期为T==π.

(3)由-≤x≤,得-≤2x≤π,

所以-≤sin 2x≤1,即f(x)的最大值为1,最小值为-.

能力提升

1.已知θ为锐角,sin 2θ=-,则sin=(　　)

A.± B. C.- D.±

解析:∵θ是锐角,∴+θ<π,∴sin>0.

∵sin 2θ=-cos=2sin2-1=-,

∴sin2,∴sin.

答案:B

2.已知tan=3,则sin 2θ-2cos2θ=(　　)

A.-1 B.- C. D.-

解析:∵tan=3,∴tan θ=,

则sin 2θ-2cos2θ=

==-.

答案:B

3.已知向量m=(sin x,1),n=(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6,则A的值为(　　)

A.6 B.3 C.3 D.12

解析:f(x)=m·n=Asin xcos x+cos 2x

=A=Asin.

因为A>0,所以A=6.

答案:A

4.cos 20°cos 40°cos 80°的值为　　　　　. 

解析:cos 20°cos 40°cos 80°

=

=

=.

答案:

5.★若coscos,则sin4θ+cos4θ=　　　　　. 

解析:coscos=cossin

=sin 2sincos 2θ=,

∴cos 2θ=.

∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ

=1-sin22θ=1-(1-cos22θ)

=1-.

答案:

6.已知函数f(x)=sin x+sin,x∈R.

(1)将f(x)化为Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;

(2)求f(x)的最小正周期;

(3)求f(x)的最大值和最小值.

解:(1)f(x)=sin x+sin=sin x+cos x

=sin.

(2)f(x)的最小正周期为2π.

(3)∵sin的最大值、最小值分别为1,-1,

∴f(x)的最大值为,最小值为-.

7.在△ABC中,已知tan=sin C,求sin的值.

解:∵A+B+C=π,

∴.

∴tan=tan=sin C.

∴2sin·cos.

又C∈(0,π),∴.

∴cos≠0.

∴2sin,

∴sin2.

又0<,

∴sin>0.

∴sin.

8.★设2sin=sin θ+cos θ,2sin2β=sin 2θ.

求证:sin 2α+cos 2β=0.

证明将2sin=sin θ+cos θ两边平方,

得2sin θcos θ=4sin2-1,

即sin 2θ=4sin2-1,

将sin 2θ=2sin2β代入,

得2sin2β=4sin2-1,

∴1-cos 2β=4sin2-1.

∴2=cos 2β.

∴-2sin 2α=cos 2β,即sin 2α+cos 2β=0.