人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算课后作业题

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

课时过关·能力提升

基础巩固

1.4(a-b)-3(a+b)-b等于(　　)

A.a-2b B.a C.a-6b D.a-8b

解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.

答案:D

2.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列说法正确的是(　　)

①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.

A.②④ B.①② C.①③ D.③④

解析:①和②属于数乘对向量与实数的分配律,正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,错误;④中,若a=0,则m,n没有关系,错误.

答案:B

3.已知P,A,B,C是平面内四点,且,则下列向量一定共线的是(　　)

A. B.

C. D.

解析:因为,所以=0,即-2,所以共线.

答案:B

4.已知点C在线段AB上,且AC=CB,则(　　)

A. B.=-

C. D.=-

解析:=-.

答案:D

5.在△ABC中,=c,=b.若边BC上一点D满足BD=2DC,则=(　　)

A.b+c B.c-b

C.b-c D.b+c

解析:如图,)=c+(b-c)=b+c.

答案:A

6.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,=a,=b,则等于 (　　)

A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b

解析:连接CD,OD,如图所示.

∵点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,

∴AC=CD,∠CAD=∠DAB=×60°=30°.

∵OA=OD,

∴∠ADO=∠DAO=30°.

由此可得∠CAD=∠ADO=30°,∴AC∥DO.

由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°,

∴∠CDA=∠DAO,∴CD∥AO,

∴四边形ACDO为平行四边形,

∴a+b.

答案:D

7.已知两个非零向量e1和e2不共线,且ke1+2e2和3e1+ke2共线,则实数k=　　　　　. 

解析:∵ke1+2e2和3e1+ke2共线,

∴存在实数λ,使得ke1+2e2=λ(3e1+ke2).

∴ke1+2e2=3λe1+kλe2,∴解得k=±.

答案:±

8.如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,且,则=　　　　 .

解析:∵,∴,

∴

=)=.

答案:

9.如图,已知向量a,b,求作向量a+2b.

解:步骤如下:

①作向量a,=2b,如图.

②以OA,OB为邻边作▱OACB,则向量就是所求作的向量.

10.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为DE,BF的交点.若=a,=b,试用a,b表示.

解:=a-b;

==-a+b.

如图,连接BD,则G是△BCD的重心,连接AC交BD于点O,则O是BD的中点,点G在AC上.

故=-=-)=-(a+b).

能力提升

1.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(　　)

A.k=1,且c与d同向 B.k=1,且c与d反向

C.k=-1,且c与d同向 D.k=-1,且c与d反向

答案:D

2.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足=0,若实数λ满足=λ,则λ的值为(　　)

A.2 B. C.3 D.6

解析:-2.

又=0,即=-,

∴=-3=λ=-λ,∴λ=3.

答案:C

3.设点O在△ABC内部,且+2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:如图,以OA和OB为邻边作平行四边形OADB,

设OD与AB交于点E,则E分别是OD,AB的中点,

=2,

则2+2=0,所以=-.

则O,E,C三点共线,所以O是中线CE的中点.

又△ABC,△AEC,△AOC有公共边AC,则S△ABC=2S△AEC=2(2S△AOC)=4S△AOC.

答案:B

4.在△ABC中,点M为边AB的中点,若,且=x+y(x≠0),则=　　　　　. 

解析:∵M为AB的中点,∴).

又,∴存在实数λ,使=λ,

∴)=,

∴x=y=,∴=1.

答案:1

5.★在△ABC中,点M满足=0,若存在实数m使得=m成立,则m=　　　　　. 

解析:∵=0,

∴点M是△ABC的重心.

∴=3,∴m=3.

答案:3

6.下列各组向量中,a,b共线的是　　　　　.(填序号) 

①a=-e,b=2e(e为非零向量);

②a=e1-e2,b=-3e1+3e2(e1,e2为非零且不共线的向量);

③a=e1-e2,b=e1+2e2(e1,e2为非零且不共线的向量).

解析:①∵a=-b,且e≠0,∴a与b共线;

②∵a=-b,且e1,e2为非零且不共线的向量,

∴a与b共线;

③∵e1,e2为非零且不共线的向量,

∴不存在实数λ,使a=λb,∴a与b不共线.

答案:①②

7.已知非零向量a,b不共线.

(1)如果=2a+3b,=6a+23b,=4a-8b,求证:A,B,D三点共线;

(2)已知=2a+kb,=a+3b,=2a-b,若使A,B,D三点共线,试确定实数k的值.

(1)证明因为=6a+23b,=4a-8b,

所以=10a+15b.

又=2a+3b,所以=5,即.

因为有公共点B,所以A,B,D三点共线.

(2)解=a+3b-2a+b=4b-a,=2a+kb.

因为A,B,D三点共线,所以.

设=λ,所以解得k=-8.

8.★已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).

(1)求证:A,B,M三点共线;

(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.

(1)证明∵=λ+(1-λ),

∴=λ-λ,

=λ-λ,

∴=λ(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).

又有公共点A,∴A,B,M三点共线.

(2)解由(1)知=λ,若点B在线段AM上,

则同向,且||>||(如图).

∴λ>1.