高中数学人教版新课标A必修41.4 三角函数的图象与性质课后复习题

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

第1课时　周期函数

课时过关·能力提升

基础巩固

1.函数y=|cos x|的最小正周期是(　　)

A. B. C.π D.2π

答案:C

2.函数y=5sin的最小正周期为(　　)

A. B. C.2π D.5π

答案:D

3.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是(　　)

答案:D

4.若定义在R上的函数f(x)存在无数个实数x满足f(x+2)=f(x),则f(x)(　　)

A.是周期为1的周期函数 B.是周期为2的周期函数

C.是周期为4的周期函数 D.不一定是周期函数

答案:D

5.已知角φ的终边经过点P(-4,3),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则f的值为(　　)

A. B. C.- D.-

答案:D

6.周期函数y=f(x)的一个周期为2 019,若f(m)=f(1),则m=(　　)

A.2 020 B.2 019

C.-2 018 D.2 019k+1(k∈Z)

解析:∵f(m)=f(1),

∴m-1=2 019k(k∈Z),∴m=2 019k+1(k∈Z).

答案:D

7.若函数f(x)=sin ωx的周期为π,则ω=　　　　　. 

解析:因为周期T=,所以=π,解得ω=±2.

答案:±2

8.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则f(5)=　　　　　. 

解析:因为函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,所以f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1).

又f(1)=1,所以f(5)=-1.

答案:-1

9.若f(x)是以2为周期的函数,且f(2)=2,则f(-6)=　　　　　. 

解析:f(-6)=f(-8+2)=f(2)=2.

答案:2

10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1,求证:f(x)是周期函数.

证明∵f(x+2)f(x)=1,∴f(x+2)=,

∴f(x+4)=f[(x+2)+2]==f(x).

∴函数f(x)是周期函数,4是一个周期.

能力提升

1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sin x,则f等于(　　)

A.- B. C.- D.

解析:f=f=f

=f=f=f=sin.

答案:D

2.函数y=的周期为(　　)

A.2π B.π C. D.4π

解析:作出函数y=的图象(图略),由图象知,该函数的周期为2π.

答案:A

3.若f(x)=3sin(2x+φ)+B,且f=2,则f=　　　　　. 

解析:由题知f(x)的周期T=π,

所以f=f=f=2.

答案:2

4.若函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是　　　　　. 

解析:T=,又1<T<3,∴1<<3.∴.

∴<ω<2π.∴正整数ω的最大值为6.

答案:6

5.设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.若f,则sin α的值为　　　　　. 

解析:∵f(x)的最小正周期为,ω>0,

∴ω==4.∴f(x)=3sin.

由f=3sin=3cos α=,

∴cos α=.∴sin α=±=±.

答案:±

6.设函数f(x)=asin和g(x)=bcos(a>0,b>0,ω>0),若它们的最小正周期之和为,且f=g,f=--1,求这两个函数的解析式.

解:∵f(x)的周期T1=,g(x)的周期T2=,

∴T1+T2=.∴ω=2.

∴f(x)=asin,g(x)=bcos.

又f=asina,

f=asin,

g=bcosb,

g=bcos=-b,

且f=g,f=--1,

∴解得a=b=1.

∴f(x)=sin,g(x)=cos.

7.★已知函数y=sin x+|sin x|.

(1)画出该函数的简图;

(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.

解:(1)y=sin x+|sin x|

=

函数图象如图.

(2)由图象知该函数是周期函数,且该函数的最小正周期是2π.