高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课后作业题

第三章检测(B)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知tan,则tan α=(　　)

A.- B.-1 C.- D.

解析:tan α=tan

==-.故选C.

答案:C

2.已知sin 2α=,则cos2=(　　)

A. B. C. D.

解析:由半角公式可得,cos2.

答案:A

3.已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则(　　)

A.tan(α+β)=3tan(α-β)

B.tan(α+β)=2tan(α-β)

C.3tan(α+β)=tan(α-β)

D.3tan(α+β)=2tan(α-β)

解析:因为sin 2α=2sin 2β,

所以

==3,

即tan(α+β)=3tan(α-β),故选A.

答案:A

4.若=1,则sin 2α的值为(　　)

A.-或1 B.- C.1 D.-

解析:∵

=

=(cos α+sin α)=1,

∴2(1+sin 2α)=1,

∴sin 2α=-.

答案:B

5.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a>b>c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b

解析:a=cos 6°-sin 6°=sin 24°,b=2sin 13°cos 13°=sin 26°,c==sin 25°,所以a<c<b.

答案:D

6.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值是(　　)

A.1 B.2 C.+1 D.+2

解析:f(x)=cos x+sin x

=2=2sin.

∴当x=时,f(x)取最大值2.

答案:B

7.已知cos2α-cos2β=a,则sin(α+β)sin(α-β)=(　　)

A.- B. C.-a D.a

解析:sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β+cos αsin β)·(sin αcos β-cos αsin β)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-a.故选C.

答案:C

8.已知cos+sin α=,则sin的值是 (　　)

A.- B. C.- D.

解析:∵cos+sin α=cos α+sin α+sin α

=cos α+sin α=

=sin,

∴sin.

∴sin=sin=-sin=-.

答案:C

9.4cos 50°-tan 40°=(　　)

A. B. C. D.2-1

解析:4cos 50°-tan 40°=

=

=

=.

答案:C

10.已知角α,β满足.若sin(α+β)=,则sin(α-β)=(　　)

A. B.- C. D.-

解析:设sin(α-β)=x,

即sin αcos β-cos αsin β=x.①

又sin(α+β)=,

即sin αcos β+cos αsin β=,②

由①②得,sin αcos β=,cos αsin β=,解得x=-.

答案:B

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11.化简:=　　　　　. 

解析:原式=

==cos α.

答案:cos α

12.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则的值为　　　　　. 

解析:∵3+2sin x+2cos x=3+2sin≥3-2,

∴3+2sin x+2cos x≠0,

∴sin x-2cos x=0,即sin x=2cos x,

∴(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=.

∴

==2cos2x=.

答案:

13.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为　　　　　. 

答案:

14.已知coscos α,tan β=,则tan(α+β)=　　　　　. 

解析:∵coscos α,

∴cos αcos -sin αsin cos α,

∴-sin α=cos α,∴tan α==-.

又tan β=,

∴tan(α+β)==-.

答案:-

15.已知α为第二象限角,函数f(x)=2cos2sin x.若f,则=　                . 

解析:因为f(x)=2cos2sin x=1+cos x-sin x=1+2cos,f,

所以1+2cos α=,即cos α=-.

又α为第二象限角,所以sin α=.

所以

=

=.

答案:

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)已知tan α=2.

(1)求tan的值;

(2)求的值.

解:(1)tan

==-3.

(2)

=

=

==1.

17.(8分)已知tan α=-,cos β=,α,β∈(0,π).

求:(1)tan(α+β)的值;

(2)sin+cos的值.

分析:(1)先求出tan β,再用两角和的正切公式求解;(2)求出sin α,cos α,sin β代入公式可得.

解:(1)由cos β=,β∈(0,π),得sin β=,tan β=2.

所以tan(α+β)==1.

(2)因为tan α=-,α∈(0,π),

所以sin α=,cos α=- .

所以原式

=

=

=-.

18.(9分)已知函数f(x)=cos,x∈R.

(1)求f的值;

(2)若cos θ=,θ∈,求f.

解:(1)fcos

=coscos =1.

(2)fcos

=cos=cos 2θ-sin 2θ.

因为cos θ=,θ∈,所以sin θ=-.

所以sin 2θ=2sin θcos θ=-,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-.

所以f=cos 2θ-sin 2θ=-.

19.(10分)已知函数f(x)=2sincos-2sin2.

(1)求函数f(x)的最小正周期及最值;

(2)令g(x)=f,判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由.

解:(1)∵f(x)=sin

=sincos

=2sin,

∴f(x)的最小正周期为T==4π.

当sin=-1时,f(x)取得最小值-2;

当sin=1时,f(x)取得最大值2.

(2)g(x)是偶函数,理由如下:

由(1)知f(x)=2sin,

∴g(x)=f

=2sin

=2sin=2cos.

∵g(-x)=2cos=2cos=g(x),

∴函数g(x)是偶函数.

20.(10分)已知函数f(x)=sin.

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)若α是第二象限角,fcoscos 2α,求cos α-sin α的值.

解:(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z,

由-+2kπ≤3x++2kπ,k∈Z,得-≤x≤,k∈Z.

所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(2)由已知,有sincos·(cos2α-sin2α),

所以sin αcos+cos αsin

=(cos2α-sin2α),

即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α).

当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cos α-sin α=-.

当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=.

由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-.

综上所述,cos α-sin α=-或-.