高中人教版新课标A第三章 概率综合与测试综合训练题

第三章检测(A)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A互斥的事件是(　　)

A.所取的3个球中至少有一个白球

B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球

C.所取的3个球都是黑球

D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球

答案:B

2.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是              (　　)

A. B.

C. D.

解析:∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},∴基本事件的个数为15.

∵正确的开机密码只有1个,∴P=.

答案:C

3.下列说法正确的是(　　)

A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场

B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈

C.随机试验的频率与概率相等

D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效的可能性为76%

解析:概率只是说明事件发生的可能性大小,其发生具有随机性.

答案:D

4.A地的天气预报显示,A地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为30%,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率,先利用计算器产生0~9之间整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾,用7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数:

402　978　191　925　273　842　812　479　569　683

231　357　394　027　506　588　730　113　537　779

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为(　　)

A. B. C. D.

解析:由题意知,在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有978,479,588,779,共4组,故所求概率为.

答案:D

5.某人从甲地去乙地共走了500 m,途中要过一条宽为x m的河流,他不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里,则不能找到,若物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能找到的概率为,则河宽为(　　)

A.100 m B.80 m

C.50 m D.40 m

解析:设河宽为x m,则1-,所以x=100.

答案:A

6.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是(　　)

A.0.42 B.0.28

C.0.3 D.0.7

解析:摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.

答案:C

7.某箱内有十张标有数字0到9的卡片,从中任取一张,则取到卡片上的数字不小于6的概率是(　　)

A. B.

C. D.

解析:数字不小于6,有6,7,8,9共4个基本事件,而基本事件总数为10,故所求概率P=.

答案:B

8.某人向一个半径为6的圆形标靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为(　　)

A. B.

C. D.

解析:此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为.

答案:A

9.在边长为2的正方形中作其内切圆,然后向正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率π的值.如果撒了1 000粒芝麻,落在圆内的芝麻总数是776粒,那么这次模拟中π的估计值是(　　)

A.2.972 B.2.983

C.3.104 D.3.130

解析:由题意知,解得π≈3.104.

答案:C

10.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为              (　　)

A. B.

C. D.

解析:设被污损的数字是x,则x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.甲的平均成绩为(88+89+90+91+92)=90, [83+83+87+(90+x)+99]=,设“甲的平均成绩超过乙的平均成绩”为事件A,则此时有90>,解得x<8,则事件A包含0,1,2,3,4,5,6,7,共8个基本事件,则P(A)=.

答案:B

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11.将一枚骰子先后抛掷两次,观察向上的点数.设抛掷两次向上的点数分别为a和b,则等式2a-b=1成立的概率为　　　　　. 

解析:∵2a-b=1,∴a-b=0.

又先后抛掷骰子两次,出现的结果一共有36个,当a-b=0时,包含(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个.

∴所求概率为.

答案:

12.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是　　　　　(用a和b表示). 

解析:[a,b]中共有(b-a+1)个整数,每个整数出现的可能性相等,故每个整数出现的可能性是.

答案:

13.如图,靶子由三个半径分别为R,2R,3R的同心圆组成,若向靶子内随机地掷一支飞镖,命中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为p1,p2,p3,则p1∶p2∶p3=　　　　　. 

解析:p1∶p2∶p3=πR2∶(π×4R2-πR2)∶(π×9R2-π×4R2)=1∶3∶5.

答案:1∶3∶5

14.在区间[0,3]上随机取一个数x,满足函数y=有意义的概率为　　　　　. 

解析:∵函数y=有意义,

∴x-1>1,∴x>2.

又x∈[0,3],∴所求概率P=.

答案:

15.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是　　　　. 

解析:若使两点间的距离为,则为对角线一半,选择点必含中心,设中心为G,四个顶点为A,B,C,D,基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,G),(B,C),…,(D,G),共10个,所求事件包含的基本事件有(A,G),(B,G),(C,G),(D,G),共4个,所求概率为.

答案:

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上是正面朝上还是反面朝上.

(1)写出这个试验的所有基本事件;

(2)求这个试验的基本事件的总数;

(3)“恰有2枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件?

解:(1)这个试验包含的基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).

(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.

(3)“恰有2枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).

17.(8分)随机抽取一个年份,对某市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:

(1)在4月份任取一天,估计该市在该天不下雨的概率;

(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.

解:(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,该市不下雨的概率为.

(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.

以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.

18.(9分)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.

(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果.

(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5分的概率.

解:(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红),(红、红、黑),(红、黑、红),(红、黑、黑),(黑、红、红),(黑、红、黑),(黑、黑、红),(黑、黑、黑).

(2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A,

事件A包含的基本事件为:(红、红、黑),(红、黑、红),(黑、红、红),事件A包含的基本事件数为3.

由(1)可知,基本事件总数为8,

所以发生事件A的概率为P(A)=.

19.(10分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,在正方体内随机取一点M.

(1)求点M与平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于的概率;

(2)求使四棱锥M-ABCD的体积小于a3的概率.

解:(1)∵平面ABCD与平面A1B1C1D1的距离为a,

∴点M距离平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于的概率为.

(2)设点M到平面ABCD的距离为h,由题意,得a2h<a3,∴h<.

∴使四棱锥M-ABCD的体积小于a3的概率为.

20.(10分)为预防某病毒爆发,某生物技术公司研制出一种抗病毒疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2 000个样本分成三组,测试结果如下表:

已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.

(1)求x的值;

(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C组抽取多少个?

(3)已知y≥465,z≥30,求不能通过测试的概率.

解:(1)∵在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率为0.33,即=0.33,

∴x=660.

(2)C组样本个数为y+z=2 000-(673+77+660+90)=500,用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,应在C组抽取360×=90(个).

(3)设测试不能通过为事件M,C组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y,z),由(2)知y+z=500,且y,z∈N,基本事件有(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),共6个.

若测试不能通过,则77+90+z>2 000×(1-90%),即z>33.

事件M包含的基本事件有(465,35),(466,34),共2个,则P(M)=.

故不能通过测试的概率为.