高中数学1.3 算法与案例第1课时当堂检测题

第1课时　辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法

课时过关·能力提升

一、基础巩固

1.下列有关辗转相除法的说法正确的是(　　)

A.它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法

B.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r,直至r<n为止

C.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=qn+r(0≤r<n),反复进行,直到r=0为止

D.以上说法均不正确

答案:C

2.用更相减损术可求得78与36的最大公约数是(　　)

A.24 B.18 C.12 D.6

解析:先用2约简得39,18;然后辗转相减得39-18=21,21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3.所以所求的最大公约数为3×2=6.

答案:D

3.用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为(　　)

A.6,6 B.5,6

C.6,5 D.6,12

解析:改写多项式f(x)=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1,则需进行6次乘法和6次加法运算.

答案:A

4.用更相减损术求36与134的最大公约数,第二步应为 (　　)

A.98-36=62 B.49-18=31

C.67-18=49 D.62-36=26

解析:第一步应为先除以2,得18,67,第二步作差,67-18=49.

答案:C

5.4 830与3 289的最大公约数为(　　)

A.23 B.35 C.11 D.13

解析:4 830=1×3 289+1 541;

3 289=2×1 541+207;

1 541=7×207+92;

207=2×92+23;92=4×23.

故23是4 830与3 289的最大公约数.

答案:A

6.利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时,第二步是　. 

解析:第一步:6 497=3 869×1+2 628,

第二步:3 869=2 628×1+1 241.

答案:3 869=2 628×1+1 241

7.用秦九韶算法计算f(x)=3x4+2x2+x+4当x=10时的值的过程中,v1的值为　　　　. 

解析:改写多项式为f(x)=(((3x+0)x+2)x+1)x+4,则v0=3,v1=3×10+0=30.

答案:30

8.用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1在x=-2时的值为　　　　. 

解析:改写多项式为f(x)=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1,当x=-2时,

v0=1;v1=1×(-2)+5=3;

v2=3×(-2)+10=4;

v3=4×(-2)+10=2;

v4=2×(-2)+5=1;

v5=1×(-2)+1=-1;

故f(-2)=-1.

答案:-1

9.用辗转相除法求242与154的最大公约数.

解:242=154×1+88,

154=88×1+66,

88=66×1+22,

66=22×3.

所以242与154的最大公约数是22.

二、能力提升

1.用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法的次数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:294=84×3+42,84=42×2+0.

答案:B

2.用更相减损术求1 515与600的最大公约数时,需要做减法的次数是(　　)

A.15 B.14 C.13 D.12

解析:1 515-600=915,915-600=315,600-315=285,315-285=30,285-30=255,255-30=225,225-30=195,195-30=165,165-30=135,135-30=105,105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15.故1 515与600的最大公约数是15.需要做14次减法.

答案:B

3.用秦九韶算法求多项式f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6在x=-1.3时的值,令v0=a6,v1=v0x+a5,…,v6=v5x+a0,则v3的值为(　　)

A.-9.820 5 B.14.25

C.-22.445 D.30.978 5

解析:v0=1,v1=v0x+a5=1×(-1.3)-5.2=-6.5,v2=v1x+a4=-6.5×(-1.3)+6=14.45,v3=v2x+a3=14.45×(-1.3)-3.66=-22.445,故选C.

答案:C

4.阅读程序:

若INPUT语句中输入m,n的数据分别是72,168,则程序运行的结果为　　　　　. 

解析:该程序是用辗转相除法求两个数的最大公约数的算法程序,输入72,168,即求它们的最大公约数,可求出它们的最大公约数为24.

答案:24

★5.有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,则每瓶最多装　　　　g. 

解析:先求147与343的最大公约数:

343-147=196,

196-147=49,

147-49=98,

98-49=49.

所以147与343的最大公约数是49.

再求49与133的最大公约数:

133-49=84,

84-49=35,

49-35=14,

35-14=21,

21-14=7,

14-7=7.

所以147,343,133的最大公约数为7.

所以每瓶最多装7 g.

答案:7

6.用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时,v0,v1,v2,v3,v4中最大值与最小值的差是　　　　. 

解析:多项式变形为

f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1

=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1,

v0=3,

v1=3×(-4)+12=0,

v2=0×(-4)+6=6,

v3=6×(-4)+10=-14,

v4=-14×(-4)-8=48,

所以v4最大,v3最小,

v4-v3=48+14=62.

答案:62

★7.求三个数175,100,75的最大公约数.

解:先求175与100的最大公约数:

175=100×1+75,

100=75×1+25,

75=25×3.

则175与100的最大公约数是25.

再求25与75的最大公约数:

75-25=50,50-25=25.

故25是75和25的最大公约数,也就是175,100,75的最大公约数.