高三数学一轮复习： 第1章 第1节 集合

第一章　集合与常用逻辑用语

[深研高考·备考导航]　为教        师授课、学生学习提供丰富备考资源

[五年考情]

[重点关注]

综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：

1．从考查题型看：一般是一个选择题，个别年份是两个选择题，从考查分值看，在5分左右，题目注重基础，属容易题．

2．从考查知识点看：主要考查集合的关系及其运算，有时综合考查一元二次不等式的解法，突出对数形结合思想的考查，对常用逻辑用语考查较少，有时会命制一道小题．

3．从命题思路看：

(1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查．

(2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等)相结合考查．

(3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查．

(4)通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2018年，本章内容考查的重点是：①集合的关系及其基本运算；②全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断；③充分条件，必要条件的判断．

[导学心语]

根据近5年的全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：

1．全面系统复习，深刻理解知识本质

(1)重视对集合相关概念的理解，深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、交集、并集、补集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法．

(2)重视充分条件、必要条件的判断，弄清四种命题的关系．

(3)重视含逻辑联结词命题真假的判断，掌握特称命题、全称命题否定的含义．

2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律

(1)子集的个数及判定问题．

(2)集合的运算问题．

(3)充分条件、必要条件的判断问题．

(4)含逻辑联结词命题的真假判断问题．

(5)特称命题、全称命题的否定问题．

3．重视数学思想方法的应用

(1)数形结合思想：解决有关集合的运算问题时，可利用Venn图或数轴更直观地求解．

(2)转化与化归思想：通过运用原命题和其逆否命题的等价性，进行恰当转化，巧妙判断命题的真假．

第一节　集　合

[考纲传真]　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．

2．集合间的基本关系

(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A⫋B或B A.

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

4.集合关系与运算的常用结论

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．

(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何集合都有两个子集．(　　)

(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(　　)

(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　)

(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)

[解析]　(1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．

(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．

(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．

(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)

A．{a}⊆A  B.a⊆A

C.{a}∈A  D.a∉A

D　[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a∉A.]

3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)

A.  B.

C.  D.

D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．

∵2x－3＞0，∴x＞，∴B＝.

∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩＝.

故选D.]

4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　)

A．{4,8}　　　　　　　 B.{0,2,6}

C．{0,2,6,10}  D.{0,2,4,6,8,10}

C　[∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，

∴∁AB＝{0,2,6,10}．]

5．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝________.

【导学号：01772000】

{x|－3＜x≤－1}　[由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}．

∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}，

∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．]

　(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)

A．1　　　 B.3　　

C.5　　　 D.9

(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)

A.  B.

C.0  D.0或

(1)C　(2)D　[(1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；

当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；

当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．

(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝，

所以a的取值为0或.]

[规律方法]　1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．

2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)．

[变式训练1]　已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．

　[∵A＝∅，∴方程ax2＋3x－2＝0无实根，

当a＝0时，x＝不合题意；

当a≠0时，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－.]

　(1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)

A．AB  B.BA

C．A⊆B  D.B＝A

(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

(1)B　(2)(－∞，4]　[(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，

因此BA.

(2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

解得2＜m≤4.

综上，m的取值范围为m≤4.]

[规律方法]　1.B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解．

[变式训练2]　(1)(2017·长沙雅礼中学质检)若集合A＝{x|x＞0}，且B⊆A，则集合B可能是(　　)

A．{1,2}  B.{x|x≤1}

C．{－1,0,1}  D.R

(2)(2017·石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x＜m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.

【导学号：01772001】

(1)A　(2)(2 016，＋∞)　[(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．

(2)由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1,2 017]，

又B＝{x|x＜m＋1}，且A⊆B，

所以m＋1＞2 017，则m＞2 016.]

☞角度1　求集合的交集或并集

　(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)

A．5　　　　 B.4　　　

C.3　　　　 D.2

(2)(2017·郑州调研)设集合M＝{x|x2＝x}，

N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(　　)

A．[0,1]  B.(0,1]

C．[0,1)  D.(－∞，1]

(1)D　(2)A　[(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．

(2)M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，M∪N＝[0,1]．]

☞角度2　集合的交、并、补的混合运算

　(1)(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3)，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝(　　)

A．[2,3]  B.(－2,3]

C．[1,2)  D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)

(2)(2017·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图1­1­1)表示的集合是(　　)

图1­1­1

A．[－1,1)  B.(－3,1]

C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)  D.(－3，－1)

(1)B　(2)D　[(1)∵Q＝{x∈R|x2≥4}，

∴∁RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<x<2}．

∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，

∴P∪(∁RQ)＝{x|－2<x≤3}＝(－2,3]．

(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝(－3，－1)．]

[规律方法]　1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．

2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

易错警示：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．

[思想与方法]

1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．

2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．

3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．

(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．

(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．

[易错与防范]

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．

3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．