高三数学一轮复习： 第3章 第3节 三角函数的图象与性质

这是一份高三数学一轮复习： 第3章 第3节 三角函数的图象与性质，共10页。

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．( )
(2)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(4)y＝sin |x|是偶函数．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(2017·云南二次统一检测)函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,2)))的图象关于( )
A．原点对称 B.y轴对称
C．直线x＝eq \f(5π,2)对称 D.直线x＝－eq \f(5π,2)对称
A [函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,2)))＝－sin 2x是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.]
3．函数y＝tan 2x的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,8)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))
D [由2x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)))).]
4．(2017·长沙模拟(一))函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是
( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2π，－\f(5π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2π，－\f(5π,3)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)，\f(π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2π))
C [令z＝eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)，函数y＝sin z的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)得4kπ－eq \f(5π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(π,3)，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,3)，\f(π,3)))，故选C.]
5．(教材改编)函数f(x)＝4－2cs eq \f(1,3)x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．
2 {x|x＝6kπ，k∈Z} [f(x)min＝4－2＝2，此时，eq \f(1,3)x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]
(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cs 2x＋6cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))的最大值为( )
A．4 B.5
C.6 D.7
(2)函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(,9－x2)的定义域为________．
(1)B (2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) [(1)∵f(x)＝cs 2x＋6cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs 2x＋6sin x
＝1－2sin2x＋6sin x＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(3,2)))2＋eq \f(11,2)，
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2x＞0，,9－x2≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＜x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－3≤x≤3，))
∴－3≤x＜－eq \f(π,2)或0＜x＜eq \f(π,2)，
∴函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(,9－x2)的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).]
[规律方法] 1.三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求三角函数最值或值域的常用方法
(1)直接法：直接利用sin x和cs x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x，cs x，sin xcs x或sin x±cs x换成t，转化为二次函数求解．
[变式训练1] (1)已知函数y＝2cs x的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2 B.3
C.eq \r(,3)＋2 D.2－eq \r(,3)
(2)求函数y＝cs2x＋sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|x|≤\f(π,4)))的最大值与最小值.
【导学号：01772113】
(1)B [∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，∴cs x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，故y＝2cs x的值域为[－2,1]，
∴b－a＝3.]
(2)令t＝sin x，∵|x|≤eq \f(π,4)，∴t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,2),2)，\f(\r(,2),2)))，3分
∴y＝－t2＋t＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，
∴当t＝eq \f(1,2)时，ymax＝eq \f(5,4)，当t＝－eq \f(\r(,2),2)时，ymin＝eq \f(1－\r(,2),2)，7分
∴函数y＝cs2x＋sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|x|≤\f(π,4)))的最大值为eq \f(5,4)，最小值为eq \f(1－\r(,2),2).12分
(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.(0,2]
(2)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))的单调减区间为________．
(1)A (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z) [(1)由eq \f(π,2)＜x＜π得eq \f(π,2)ω＋eq \f(π,4)＜ωx＋eq \f(π,4)＜πω＋eq \f(π,4)，由题意知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)，πω＋\f(π,4)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)≥\f(π,2)，,πω＋\f(π,4)≤\f(3π,2)，))解得eq \f(1,2)≤ω≤eq \f(5,4).
(2)由已知函数为y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调增区间即可．
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z.
故所求函数的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．]
[规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．
(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．
2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
[变式训练2] (1)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间是________．
(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω＝________.

【导学号：01772114】
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z) (2)eq \f(3,2) [(1)由－eq \f(π,2)＋kπ＜2x－eq \f(π,3)＜eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，
得eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)＜x＜eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)．
(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx≤eq \f(π,2)，即0≤x≤eq \f(π,2ω)时，y＝sin ωx是增函数；
当eq \f(π,2)≤ωx≤eq \f(3π,2)，即eq \f(π,2ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减知，eq \f(π,2ω)＝eq \f(π,3)，∴ω＝eq \f(3,2).]
☞角度1 奇偶性与周期性的判断
(1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y＝cs|2x|，②y＝|cs x|，③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，④y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B.①③④
C．①②③ D.①③
(2)函数y＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,4)))是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
(1)C (2)A [(1)①y＝cs|2x|＝cs 2x，T＝π.
②由图象知，函数的周期T＝π.
③T＝π.
④T＝eq \f(π,2).
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.
(2)y＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,4)))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,4)))＝－sin 2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．]
☞角度2 求三角函数的对称轴、对称中心
(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，0))
A [由f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝eq \f(1,2).因为f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))恒成立，所以f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，
即eq \f(1,2)×eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜eq \f(π,2)，
得φ＝eq \f(π,3)，故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).
令eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，
得x＝2kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，0))(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0))，故选A.]
☞角度3 三角函数对称性的应用
(1)如果函数y＝3cs(2x＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，0))中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
(2)已知函数f(x)＝sin x＋acs x的图象关于直线x＝eq \f(5π,3)对称，则实数a的值为
( )
A．－eq \r(,3) B.－eq \f(\r(,3),3)
C.eq \r(,2) D.eq \f(\r(,2),2)
(1)A (2)B [(1)由题意得3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(4π,3)＋φ))
＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ＋2π))＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0，
∴eq \f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴φ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为eq \f(π,6).
(2)由x＝eq \f(5π,3)是f(x)图象的对称轴，
可得f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)))，
即sin 0＋acs 0＝sineq \f(10π,3)＋acseq \f(10π,3)，
解得a＝－eq \f(\r(,3),3).]
[规律方法] 1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数周期的方法：
(1)利用周期函数的定义．
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(π,|ω|).
(3)借助函数的图象．
[思想与方法]
1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
2．求三角函数值域(最值)的常用方法：
(1)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．
(2)换元法：把sin x或cs x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．
3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
[易错与防范]
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．
3．利用换元法求三角函数最值时，注意cs x(或sin x)的有界性．
4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．
三角函数的定义域与值域
三角函数的单调性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性