高三数学一轮复习： 第6章 第3节 基本不等式

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第三节　基本不等式 [考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C.＋> D.＋≥2D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为(　　)A．7　　　　　　　　　 B.8C．9  D.10C　[∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号，故选C.]4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) 【导学号：01772209】A．1＋  B.1＋C．3  D.4C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]利用基本不等式求最值　(1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A.　　　　　　　　 B.2C．2  D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．(1)C　(2)3　[(1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.][规律方法]　1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1]　(1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)A．10  B.9C．8  D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．(1)B　(2)－4　[(1)∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴＋＝－(m＋n)  ＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]利用基本不等式证明不等式　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.[证明]　(1)＋＋＝2，∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，3分∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).5分(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，10分∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).12分法二：＝1＋＋＋，由(1)知，＋＋≥8，10分故＝1＋＋＋≥9.12分[规律方法]　1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2]　设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2. 【导学号：01772210】[证明]　由于a，b均为正实数，所以＋≥2＝，3分当且仅当＝，即a＝b时等号成立，又因为＋ab≥2＝2，当且仅当＝ab时等号成立，所以＋＋ab≥＋ab≥2，8分当且仅当即a＝b＝时取等号.12分基本不等式的实际应用　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．[解]　(1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50,100].2分所以这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈.(或y＝＋x，x∈).5分(2)y＝＋x≥26 ，当且仅当＝x，即x＝18，等号成立.8分故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.12分[规律方法]　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3]　某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解]　(1)由题意得，y＝，即y＝x＋＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．