高三数学一轮复习： 第7章 第2节 课时分层训练39

这是一份高三数学一轮复习： 第7章 第2节 课时分层训练39，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2014·全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq \r(3)，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为( )
A．3 B.eq \f(3,2)
C．1 D.eq \f(\r(3),2)
C [在正△ABC中，D为BC中点，
则有AD＝eq \f(\r(3),2)AB＝eq \r(3)，
S△DB1C1＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3).
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A­B1DC1底面上的高．
∴V三棱锥A­B1DC1＝eq \f(1,3)S△DB1C1·AD＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.]
2．已知底面边长为1，侧棱长为eq \r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
【导学号：01772246】
A.eq \f(32π,3) B.4π
C．2π D.eq \f(4π,3)
D [依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝eq \r(12＋12＋\r(2)2)＝2，解得R＝1，所以V＝eq \f(4π,3)R3＝eq \f(4π,3).]
3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7­2­8所示，则该几何体的体积为( )
图7­2­8
A.eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)π B.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)π
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π D.1＋eq \f(\r(2),6)π
C [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为eq \f(\r(2),2)，从而该几何体的体积为eq \f(1,3)×12×1＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π.故选C.]
4．某几何体的三视图如图7­2­9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )

图7­2­9
【导学号：01772247】
A．2 B.eq \f(9,2)
C.eq \f(3,2) D.3
D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝eq \f(1,2)×(1＋2)×2＝3，
∴V＝eq \f(1,3)x·3＝3，解得x＝3.]
5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7­2­10所示，则该四面体的表面积是( )
图7­2­10
A．1＋eq \r(3) B.2＋eq \r(3)
C．1＋2eq \r(2) D.2eq \r(2)
B [四面体的直观图如图所示．
侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是eq \r(2)的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝eq \r(2)，AC＝2.
设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，
∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.
又OS＝OB＝1，∴SB＝eq \r(2)，
故△SAB与△SBC均是边长为eq \r(2)的正三角形，故该四面体的表面积为2×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝2＋eq \r(3).]
二、填空题
6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．
【导学号：01772248】
eq \r(7) [设新的底面半径为r，由题意得
eq \f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq \f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，
∴r2＝7，∴r＝eq \r(7).]
7．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
12 [设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.
由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，∴h＝1，
∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.]
8．某几何体的三视图如图7­2­11所示，则该几何体的体积为________．
图7­2­11
eq \f(1,3)＋π [由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由题图中数据可得三棱锥的体积V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×1＝eq \f(1,3)，半圆柱的体积V2＝eq \f(1,2)×π×12×2＝π，∴V＝eq \f(1,3)＋π.]
三、解答题
9．如图7­2­12，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱锥D­ABC的体积的最大值．
图7­2­12
[解] 由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，∵棱AD与棱BC相互垂直，设d为AD到BC的距离，4分
则VD­ABC＝AD·BC×d×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝2d，
当d最大时，VD­ABC体积最大.8分
∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，
∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，
d有最大值eq \r(42－1)＝eq \r(15).
此时V＝2eq \r(15).12分
10．四面体ABCD及其三视图如图7­2­13所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

图7­2­13
(1)求四面体ABCD的体积；
(2)证明：四边形EFGH是矩形．
[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
∴AD⊥平面BDC，3分
∴四面体ABCD的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×1＝eq \f(2,3).5分
(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，8分
∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7­2­14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
图7­2­14
A．1 B.2
C.4 D.8
B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝eq \f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.]
2．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
eq \f(9,2)π [如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得
HA＝eq \f(1,3)·2R＝eq \f(2,3)R，
∴OH＝eq \f(R,3).
∵截面面积为π＝π·(HM)2，
∴HM＝1.
在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，
∴R2＝eq \f(1,9)R2＋HM2＝eq \f(1,9)R2＋1，
∴R＝eq \f(3\r(2),4)，
∴S球＝4πR2＝4π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)))2＝eq \f(9,2)π.]
3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7­2­15，已知正三棱锥P­ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
图7­2­15
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
[解] (1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，
所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分
因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.
又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点.5分
(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.7分
理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．
连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝eq \f(2,3)CG.10分
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝eq \f(2,3)PG，DE＝eq \f(1,3)PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2eq \r(2).
在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，
所以四面体PDEF的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3).12分