高三数学一轮复习： 第5章 第1节 课时分层训练28

课时分层训练(二十八)

数列的概念与简单表示法

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　)

【导学号：01772172】

A.  B.

C.  D.

D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.]

2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)

 【导学号：01772173】

A．1，，，，…

B．－1，－2，－3，－4，…

C．－1，－，－，－，…

D．1，，，…，

C　[根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C.]

3．(2017·海淀期末)数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为

(　　)

A．5  B.6

C.7  D.8

B　[由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以数列为常数列，则＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6，故选B.]

4．(2016·广东3月测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)

A．3(3n－2n)  B.3n＋2

C．3n  D.3·2n－1

C　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝(a1－1)，得a1＝3，∴＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，

∴an＝3n，故选C.]

5．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 017＝(　　)

【导学号：01772174】

A.  B.－

C.2  D.－2

C　[由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，

则有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，

故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1，

所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]

二、填空题

6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝__________.

12　[当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.]

7．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项.

【导学号：01772175】

10　[令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，

则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．

∴a10＝0.08.]

8．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝__________.

　[由已知得，－＝n，所以－＝n－1，

－＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝，

所以an＝.]

三、解答题

9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

[解]　(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.3分

(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，

解得n＝16或n＝－9(舍去)，

即150是这个数列的第16项.8分

(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．

所以从第7项起各项都是正数.12分

10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

[解]　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，

解得a2＝3a1＝3.2分

由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，

解得a3＝(a1＋a2)＝6.5分

(2)由题设知a1＝1.

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.7分

于是a1＝1，

a2＝a1，

a3＝a2，

……

an－1＝an－2，

an＝an－1.10分

将以上n个等式两端分别相乘，

整理得an＝.

显然，当n＝1时也满足上式．

综上可知，{an}的通项公式an＝.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.  D.

D　[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.]

2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________.

　[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，

两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，

∴an＋1＝4an(n≥2)．

∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，

∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，

∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．

故an＝]

3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

[解]　(1)由n2－5n＋4<0，

解得1<n<4.

因为n∈N*，所以n＝2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.2分

因为an＝n2－5n＋4＝2－，

由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.5分

(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，7分

又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞).12分