高三数学一轮复习： 第4章 第3节 课时分层训练26

这是一份高三数学一轮复习： 第4章 第3节 课时分层训练26，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在边长为1的等边△ABC中，设eq \(BC,\s\up13(→))＝a，eq \(CA,\s\up13(→))＝b，eq \(AB,\s\up13(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
【导学号：01772152】
A．－eq \f(3,2) B.0
C.eq \f(3,2) D.3
A [依题意有a·b＋b·c＋c·a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2).]
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B.－6
C.6 D.8
D [法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.
法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.]
3．平面四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(CD,\s\up13(→))＝0，(eq \(AB,\s\up13(→))－eq \(AD,\s\up13(→)))·eq \(AC,\s\up13(→))＝0，则四边形ABCD是 ( )
【导学号：01772153】
A．矩形 B.正方形
C．菱形 D.梯形
C [因为eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(CD,\s\up13(→))＝0，所以AB＝－eq \(CD,\s\up13(→))＝eq \(DC,\s\up13(→))，所以四边形ABCD是平行四边形．又(eq \(AB,\s\up13(→))－eq \(AD,\s\up13(→)))·eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \(DB,\s\up13(→))·eq \(AC,\s\up13(→))＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．]
4．(2016·安徽黄山二模)已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量eq \(AC,\s\up13(→))在eq \(BD,\s\up13(→))方向上的投影为( )
A.eq \f(2\r(13),13) B.－eq \f(2\r(13),13)
C.eq \f(\r(13),13) D.－eq \f(\r(13),13)
D [∵eq \(AC,\s\up7(→))＝(－1,1)，eq \(BD,\s\up7(→))＝(3,2)，
∴eq \(AC,\s\up7(→))在eq \(BD,\s\up7(→))方向上的投影为|eq \(AC,\s\up7(→))|cs〈eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up7(→))·\(BD,\s\up7(→)),|\(BD,\s\up7(→))|)＝eq \f(－1×3＋1×2,\r(32＋22))＝eq \f(－1,\r(13))＝－eq \f(\r(13),13).故选D.]
5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
C [∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cs〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cs〈a，b〉＝0，
∴cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，∴〈a，b〉＝eq \f(2π,3).]
二、填空题
6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
－2 [∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，
∴a·b＝0.
又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]
7．在△ABC中，若eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．
垂心 [∵eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))，
∴eq \(OB,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))＝0，
∴eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))＝0，
∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．
同理eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝0，eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝0，故O是△ABC的垂心．]
8．如图4­3­1，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq \(CP,\s\up7(→))＝3eq \(PD,\s\up7(→))，eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(BP,\s\up7(→))＝2，则eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))的值是________．
【导学号：01772154】
图4­3­1
22 [由题意知：eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DP,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(→))，
eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CP,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))，
所以eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up7(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))－\f(3,4)\(AB,\s\up7(→))))＝eq \(AD,\s\up7(→))2－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(3,16)eq \(AB,\s\up7(→))2，即2＝25－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))·AB－eq \f(3,16)×64，解得eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝22.]
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
[解] 由已知得，a·b＝4×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－16.2分
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4eq \r(3).4分
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16eq \r(3).6分
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，8分
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直.12分
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up7(→))－teq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(OC,\s\up7(→))＝0，求t的值．
[解] (1)由题设知eq \(AB,\s\up7(→))＝(3,5)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(－1,1)，则
eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝(2,6)，eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))＝(4,4).3分
所以|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))|＝4eq \r(2).
故所求的两条对角线长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10).5分
(2)由题设知eq \(OC,\s\up7(→))＝(－2，－1)，
eq \(AB,\s\up7(→))－teq \(OC,\s\up7(→))＝(3＋2t,5＋t).8分
由(eq \(AB,\s\up7(→))－teq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(OC,\s\up7(→))＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－eq \f(11,5).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·河南商丘二模)已知a，b均为单位向量，且a·b＝0.若|c－4a|＋|c－3b|＝5，则|c＋a|的取值范围是 ( )
A．[3，eq \r(10)] B.[3,5]
C．[3,4] D.[eq \r(10)，5]
B [∵a，b均为单位向量，且a·b＝0，
∴设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
代入|c－4a|＋|c－3b|＝5，得eq \r(x－42＋y2)＋eq \r(x2＋y－32)＝5.
即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5.
∴c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，
又|c＋a|＝eq \r(x＋12＋y2)，表示M(－1,0)到线段AB上点的距离，
最小值是点(－1,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离，
∴|c＋a|min＝eq \f(|－3－12|,5)＝3.
又最大值为|MA|＝5，
∴|c＋a|的取值范围是[3,5]．故选B.]
2．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足eq \(OQ,\s\up7(→))＝m⊗eq \(OP,\s\up7(→))＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) [设Q(c，d)，由新的运算可得
eq \(OQ,\s\up7(→))＝m⊗eq \(OP,\s\up7(→))＋n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x，\f(1,2)sin x))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)，\f(1,2)sin x))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2x＋\f(π,3)，,d＝\f(1,2)sin x，))
消去x得d＝eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－\f(π,6)))，
所以y＝f(x)＝eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))，
易知y＝f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝ceq \(CB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→)).
【导学号：01772155】
(1)求角B的大小；
(2)若|eq \(BA,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)由题意得(eq \r(2)a－c)cs B＝bcs C.
根据正弦定理得(eq \r(2)sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
所以eq \r(2)sin Acs B＝sin(C＋B)，2分
即eq \r(2)sin Acs B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cs B＝eq \f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4).5分
(2)因为|eq \(BA,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(6)，所以|eq \(CA,\s\up7(→))|＝eq \r(6)，7分
即b＝eq \r(6)，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq \r(2)ac≥2ac－eq \r(2)ac＝(2－eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋eq \r(2))，9分
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(3\r(2)＋1,2)，
即△ABC的面积的最大值为eq \f(3\r(2)＋3,2).12分