高三数学一轮复习： 热点探究训练6 概率与统计中的高考热点问题

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(1)求y关于t的回归方程eq \(y,\s\up13(^))＝eq \(b,\s\up13(^))t＋eq \(a,\s\up13(^))；
(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程eq \(y,\s\up13(^))＝eq \(b,\s\up13(^))t＋eq \(a,\s\up13(^))中，eq \(b,\s\up13(^))＝eq \f(\(∑,\s\up13(n),\s\d4(i＝1))tiyi－n\(t,\s\up13(－))\(y,\s\up13(－)),\(∑,\s\up13(n),\s\d4(i＝1))t\\al(2,i)－n\(t,\s\up13(－))2)，eq \(a,\s\up13(^))＝eq \(y,\s\up13(－))－eq \(b,\s\up13(^))eq \(t,\s\up13(－)).
[解] (1)易求eq \(t,\s\up13(－))＝eq \f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
eq \(y,\s\up13(－))＝eq \f(1,5)eq \(∑,\s\up13(5),\s\d4(i＝1))yi＝7.2.2分
又eq \(∑,\s\up13(5),\s\d4(i＝1))tiyi－5eq \(t,\s\up13(－))eq \(y,\s\up13(－))＝120－5×3×7.2＝12，
eq \(∑,\s\up13(5),\s\d4(i＝1))teq \\al(2,i)－5eq \(t,\s\up13(－))2＝55－5×32＝10.4分
从而eq \(b,\s\up13(^))＝eq \f(\(∑,\s\up13(5),\s\d4(i＝1))tiyi－5\(t,\s\up13(－))\(y,\s\up13(－)),\(∑,\s\up13(5),\s\d4(i＝1))t\\al(2,i)－5\(t,\s\up13(－))2)＝eq \f(12,10)＝1.2，
∴eq \(a,\s\up13(^))＝eq \(y,\s\up13(－))－eq \(b,\s\up13(^))eq \(t,\s\up13(－))＝7.2－1.2×3＝3.6，6分
故所求回归方程为eq \(y,\s\up13(^))＝1.2t＋3.6.8分
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为eq \(y,\s\up13(^))＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).12分
2．(2015·北京卷节选)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
[解] 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝eq \f(1,7)，i＝1,2，…，7.2分
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝eq \f(3,7).5分
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．
由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，7分
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝eq \f(10,49).12分
3．某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n＞8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于eq \f(1,2)，求n的最大值；
【导学号：01772434】
(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
[解] (1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，
则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(C\\al(1,n－6)C\\al(1,6),C\\al(2,n))＝eq \f(12n－6,nn－1).2分
依题意eq \f(12n－6,nn－1)≥eq \f(1,2)，化简得n2－25n＋144≤0，
∴9≤n≤16，故n的最大值为16.5分
(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，
则P(ξ＝k)＝eq \f(C\\al(k,6)C\\al(2－k,6),C\\al(2,12))(k＝0,1,2)，
∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(0,6)C\\al(2,6),C\\al(2,12))＝eq \f(5,22)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,6),C\\al(2,12))＝eq \f(6,11).8分
∴E(ξ)＝0×eq \f(5,22)＋1×eq \f(6,11)＋2×eq \f(5,22)＝1.12分
4．(2017·武汉四校联考)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天的课外体育锻炼时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼时间的单位：分钟)
将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60]内的学生评价为“课外体育达标”.
【导学号：01772435】
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中抽取3名学生，记被抽取的3名学生中“课外体育达标”的学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差.
参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
[解] (1)依题意，得2×2的列联表如下：
K2＝eq \f(200×60×20－30×902,150×50×90×110)＝eq \f(200,33)≈6.061＜6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.6分
(2)易得抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25.
因为将频率视为概率，
所以X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))，
所以E(X)＝3×eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，D(X)＝3×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16).12分
5．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是eq \f(3,4)，乙每轮猜对的概率是eq \f(2,3)；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
[解] (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，
记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，
记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋eq \x\t(A)BCD＋Aeq \x\t(B)CD＋ABeq \x\t(C)D＋ABCeq \x\t(D)，2分
由事件的独立性与互斥性，
P(E)＝P(ABCD)＋P(eq \x\t(A)BCD)＋P(Aeq \x\t(B)CD)＋P(ABeq \x\t(C)D)＋P(ABCeq \x\t(D))＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(eq \x\t(A))P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(eq \x\t(B))P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(eq \x\t(C))P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(eq \x\t(D))＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(2,3)＋\f(3,4)×\f(1,3)×\f(3,4)×\f(2,3)))＝eq \f(2,3)，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为eq \f(2,3).5分
(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,144)，
P(X＝1)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)×\f(1,3)×\f(1,4)×\f(1,3)＋\f(1,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(1,3)))
＝eq \f(10,144)＝eq \f(5,72)，
P(X＝2)＝eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(25,144)，
P(X＝3)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,12)，
P(X＝4)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(1,3)＋\f(3,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(2,3)))
＝eq \f(60,144)＝eq \f(5,12)，
P(X＝6)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(36,144)＝eq \f(1,4).10分
可得随机变量X的分布列为
所以数学期望E(X)＝0×eq \f(1,144)＋1×eq \f(5,72)＋2×eq \f(25,144)＋3×eq \f(1,12)＋4×eq \f(5,12)＋6×eq \f(1,4)＝eq \f(23,6).12分
6．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”．已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2.
【导学号：01772436】
图3
(1)确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；
(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“非微信达人”和“微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
[解] (1)“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2，
所以eq \f(3＋x＋9＋15,18＋y)＝eq \f(3,2)，2分
又3＋x＋9＋15＋18＋y＝60，
解这个方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝6，))从而可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝0.15，,q＝0.10.))
补全频率分布直方图如图所示：
5分
(2)选出的人中，“微信达人”有4人，“非微信达人”有6人，X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,4)·C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,6)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)·C\\al(2,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,2)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)·C\\al(1,6),C\\al(3,10))＝eq \f(3,10)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)·C\\al(0,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,30)，10分
所以X的分布列是
所以X的数学期望E(X)＝0＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)＋eq \f(1,10)＝eq \f(6,5).12分年份
2012
2013
2014
2015
2016
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y
(千亿元)
5
6
7
8
10
ξ
0
1
2
P
eq \f(5,22)
eq \f(6,11)
eq \f(5,22)
平均每天锻炼
的时间(分钟)
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
人数
20
36
44
50
40
10
课外体育不达标
课外体育达标
总计
男
女
20
110
总计
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
课外体育不达标
课外体育达标
总计
男
60
30
90
女
90
20
110
总计
150
50
200
X
0
1
2
3
4
6
P
eq \f(1,144)
eq \f(5,72)
eq \f(25,144)
eq \f(1,12)
eq \f(5,12)
eq \f(1,4)
使用微信时间(单位：小时)
频数
频率
(0,0.5]
3
0.05
(0.5,1]
x
p
(1,1.5]
9
0.15
(1.5,2]
15
0.25
(2,2.5]
18
0.30
(2.5,3]
y
q
合计
60
1.00
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)